equivalencia material; y b) equivalencia lógica Lógica y argumentación Formas argumentales: equivalencia material; y b) equivalencia lógica

Lógica y argumentación Formas enunciativas y enunciados

Lógica y argumentación “[…] ‘una forma enunciativa es cualquier secuencia de símbolos que contiene variables enunciativas pero no enunciados, tal que cuando las variables enunciativas se sustituyen por enunciados, la misma variable por el mismo enunciado cada vez que aparezca, el resultado es un enunciado’. Así, p v q es una forma enunciativa, pues cuando reemplazamos variables enunciativas por enunciados, se obtiene un enunciado. Puesto que el enunciado resultante es una disyunción, p v c se llama una forma enunciativa disyuntiva. De manera análoga, p • q y p  q se llaman formas enunciativas conjuntativa y condicional, respectivamente, y ~ p se llama forma enunciativa negativa.”[1] [1] Copi, Irving M.; Cohen, Carl; Op. Cit., p. 360

Lógica y argumentación Formas enunciativas: tautológicas, Contradictorias, y contingentes

Lógica y argumentación Tautología “Una forma enunciativa que tiene solamente instancias de sustitución verdaderas se llama enunciado tautológico o tautología. Para mostrar que la forma enunciativa p v ~ p es una tautología construimos la siguiente tabla de verdad:[1] [1] Ibidem, pp. 360-361

Lógica y argumentación Tautología “Una forma enunciativa que tiene solamente instancias de sustitución falsa se dice que es contradictoria o que es una contradicción y es lógicamente falsa. La forma enunciativa p • ~ p es contradictoria, pues en su tabla de verdad solamente ocurren F bajo ella, lo cual significa que todas sus instancias de sustitución son falsas. […] Las formas enunciativas que tienen entre sus instancias tanto enunciados verdaderos como falsos se dice que son formas enunciativas contingentes. A cualquier enunciado cuya forma enunciativa es contingente se le llama enunciado contingente. Así, p, ~ p, p • q, p v q, p  q son todos ellos formas enunciativas contingentes.”[1] “la forma enunciativa [(p  q)  p]  p no es tan obvia, aunque su tabla de verdad muestra que es una tautología. Tiene incluso un nombre especial: ‘Ley de Peirce’.”[2] [1] Ibidem, p. 361 [2] Idem

Equivalencia material Lógica y argumentación Equivalencia material “Se dice que dos enunciados son materialmente equivalentes o equivalentes en su valor de verdad cuando ambos son verdaderos o falsos a la vez. Esta noción se expresa con el símbolo ‘≡’. La equivalencia material es una función de verdad y se puede definir por medio de la siguiente tabla de verdad: Siempre que dos enunciados materialmente equivalentes, se implican materialmente uno al otro. Esto se puede verificar fácilmente por medio de una tabla de verdad. Aquí el símbolo ‘≡’ debe leerse como ‘si y solamente si’. Un enunciado de la forma p ≡ q se llama bicondicional y la forma enunciativa se llama también bicondicional.”[1] [1] Ibidem, p. 362

Lógica y argumentación Equivalencia lógica “[…] dos enunciados son lógicamente equivalentes cuando el enunciado de su equivalencia material es una tautología. Así, el ‘principio de la doble negación’ expresado como el bicondicional p ≡ ~~ p, se prueba que es una tautología mediante la siguiente tabla de verdad: [1] [1] Ibidem, pp. 362-363

Lógica y argumentación Dos enunciados son lógicamente equivalentes sólo cuando es absolutamente imposible que tengan diferentes valores de verdad. Por lo tanto, los enunciados lógicamente equivalentes tienen el mismo significado y se pueden sustituir uno por otro en cualquier contexto veritativo funcional sin que se modifique el valor de verdad en ese contexto. Pero dos enunciados son materialmente equivalentes (aun si no tienen conexiones de facto entre sí) si meramente tienen el mismo valor de verdad. Por lo tanto, los enunciados que son simplemente equivalentes no pueden reemplazarse uno por el otro.”[1] [1] Ibidem, pp. 362-363

Lógica y argumentación Teoremas de De Morgan “Hay dos equivalencias lógicas (esto es, bicondicionales lógicamente verdaderos) de cierto interés e importancia, que expresan las relaciones entre conjunción, disyunción y negación. Puesto que la disyunción p v c afirma solamente que por lo menos uno de los dos disyuntos es verdadero, no se contradice al afirmar que por lo menos uno es falso, sino solamente afirmando que ambos son falsos. Así, afirmar la negación de la disyunción p v q es lógicamente equivalente a afirmar la conjunción de las negaciones de p y de q. En símbolos, tenemos el bicondicional (p v q) ≡ (~ p • ~ q) cuya verdad lógica queda establecida con la siguiente tabla de verdad: [1] [1] Ibidem., p. 363

Lógica y argumentación De igual manera, puesto que al afirmar la conjunción de p y de q se afir­ma que ambas son verdaderas, para contradecirlas necesitamos sola­mente afirmar que al menos una de ellas es falsa. Así, afirmar la negación de la conjunción p • q es lógicamente equivalente a afirmar la disyun­ción de las negaciones de p y de q. En símbolos, tenemos el bicondicional ~ (p • q) ≡ (~ p v ~ q), que fácilmente se puede probar como tautología. Estos dos bicondicionales tautológicos se conocen como los teoremas de De Morgan y fueron enunciados por el matemático y lógico Augusto De Mor­gan (1806-1871). Los teoremas de De Morgan pueden tener las siguientes formulaciones en español […]” [1] [1] Ibidem., p. 363

La definición de la implicación material Lógica y argumentación La definición de la implicación material “[…] para cada argumento válido de tipo veritativo funcional […] el enunciado que la conjunción de sus premisas implica su conclusión es una tautología. Y para cada argumento inválido de la variedad veritativo funcional, el enunciado de que la conjunción de sus premisas implica su conclusión es o bien contingente o contradictorio.”[1] [1] Ibidem, p. 364

Las paradojas de la implicación material Lógica y argumentación Las paradojas de la implicación material “Hay dos formas de enunciados p  (q  p) y ~ p  (p  q) que fácilmente se puede demostrar que son tautologías. Tan triviales como pueden ser en cuanto a su expresión simbólica, cuando se enuncian en el lenguaje ordinario pueden parecer sorprendentes e incluso paradójicas. La primera se puede enunciar como ‘Si un enunciado es verdadero entonces está implicado por cualquier enunciado’.”[1] [1] Ibidem, p. 366

Lógica y argumentación “[…] las tablas de verdad establecen que un enunciado falso implica cualquier enunciado y que un enunciado verdadero está implicado por cualquier enunciado. Pero podemos resol­ver fácilmente la paradoja anterior si recordamos la ambigüedad de la palabra ‘implica’. En algunos sentidos de ella, es perfectamente cierto que ningún enunciado contingente puede implicar otro enunciado contingente cuyo contenido es ajeno al del primero. Es cierto en el caso de la impli­cación lógica, de la definicional y de la causal; posiblemente lo es también en el caso de la implicación decisional, si bien en este caso la noción de atinencia o pertinencia debe ser considerada en términos más amplios. […] Pero el contenido o significado es totalmente irrelevante respecto a la implicación material, que es una función de verdad. Lo único que interesa aquí es la verdad y la falsedad. No tiene nada de paradójico afirmar que toda disyunción con al menos un disyunto verdadero es verdadera y esto es lo que afirman los enunciados de la forma p  (~ q v q) y ~ p  (~ p v q) que son lógicamente equivalentes a los enunciados ‘paradójicos’. Ya hemos dado una justificación para tratar la implicación material como un sentido del ‘si-entonces’ así como del recurso lógico consistente en traducir cualquier ocurrencia de ‘si-entonces’ a la notación ‘’. La justificación residía en el hecho de que la traducción de ‘si-entonces’ a ‘ conserva la validez de todos los razonamientos del tipo que nos ocupa en esta etapa de nuestros estudios lógicos.”[1] [1] Ibidem, pp. 366-367

Lógica y argumentación Las tres leyes del pensamiento

Lógica y argumentación “El principio de identidad afirma que si cualquier enunciado es verdadero, entonces es verdadero. El principio de contradicción afirma que ningún enunciado puede ser verdadero y falso a la vez. El principio del tercero excluido afirma que cualquier enunciado es o bien verdadero o falso.”[1] “El principio de identidad afirma que todo enunciado de la forma p  p es verdadero, esto es, que todo enunciado semejante es una tautología. El principio de contradicción afirma que todo enunciado de la forma p • ~ p es falso, esto es, que cualquiera de ellos es contradictorio. El principio del tercero excluido afirma que todo enuncia­do de la forma p v ~ p es verdadero, es decir, que tal enunciado es una tautología.”[2] [1] Ibidem, p. 367 [2] Idem

Lógica y argumentación FIN