Santiago, 28 de septiembre del 2013 PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS 8° BÁSICO Santiago, 28 de septiembre del 2013

CAPÍTULO 2 EJE DE SIMETRÍA

EJE DE SIMETRÍA Eje de simetría es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura Nº 1 la línea roja (d) que divide al triángulo ABC. Figura Nº1

EJE DE SIMETRÍA También sabremos que una figura es simétrica cuando podemos pasar una línea recta o eje por ella de tal forma que dicha línea divide la figura en dos partes que tienen la misma forma. Por el contrario, una figura no es simétrica cuando, al trazar una línea recta por su mitad, la figura se divide en dos partes que tienen formas distintas

EJE DE SIMETRÍA Simetría en figuras planas: El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El triángulo isósceles tiene un solo eje de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El triángulo escaleno no tiene ejes de simetría. Estas figuras sin ejes de simetría se llaman figuras asimétricas.

EJE DE SIMETRÍA El rectángulo tiene dos ejes de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El rombo tiene dos ejes de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El trapecio no tiene ejes de simetría.

EJE DE SIMETRÍA El trapezoide no tiene ejes de simetría.

TESELACIONES E ISOMETRÍA CAPÍTULO 3 TESELACIONES E ISOMETRÍA

TESELACIONES Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas, etc. Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

TESELACIONES Algunas Teselaciones importantes: Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular. Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros (figura Nº1), el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez (figura Nº2) y la configuración hexagonal, como la de los paneles (figura Nº3).

TESELACIONES Teselación de Triángulos:

TESELACIONES Teselación de Cuadrados:

TESELACIONES Teselación de Hexágonos:

Ejercicios 1. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo 60? A) 120 B) 144 C) 240 D) 360 E) 480

Respuesta Si las baldosas con las que voy a teselar no pueden tener sino un perímetro de 10 unidades, entonces en ellas se cumple, para l=largo y a=ancho: 2l + 2a = 10, de donde: l + a =5. Y si largo y ancho de las baldosas son enteros, entonces hay sólo 2 casos: largo = 4; ancho = 1 largo = 3: ancho = 2

Respuesta Veamos una imagen aproximativa de estas dos posibilidades: La Teselación Máxima se da con 360 baldosas, Alternativa «D»

ISOMETRÍA La palabra isometría proviene del griego iso (prefijo que significa igual o mismo) y metria (que significa medir). Por ello, una definición adecuada para isometría sería igual medida.. Cuadrado simétrico, una construcción isométrica.

ISOMETRÍA Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano aquella transformación que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura en cuestión y que solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes. Además de relacionarse con la semejanza y la congruencia en las figuras planas, las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyada en la construcción geométrica (por ejemplo, en las teselaciones).

Tipos de isometrías en el plano Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.

Tipos de isometrías en el plano Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación. O = centro de rotación a = ángulo de rotación

Tipos de isometrías en el plano Reflexión: Isometría en que todos los puntos son enviados a sus imágenes reflejadas con respecto a una recta de reflexión, que actúa como espejo. Eje y actúa como recta de reflexión

Isometrías EJERCICIOS DE ISOMETRIAS: 1) Al segmento AB cuyas coordenadas son A(2,4) y B(4,2) ,se le aplica una traslación que lo transforma en el segmento A’B’ .Si las coordenadas de A’ son (- 1 , 3) ,¿cuáles son las coordenadas de B’? a) (2,2) b) (2,-2) c) ( 3,1) d) (-3,-1) e) (1,1) 2) ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P(-2,3) respecto del eje Y? a) (-2,-3) b) (2,3) c) (2,-3) d) 3,-2) e) (3,2)

Isometrías 3) El punto M (-1,-4) se traslada según el vector (-1,-4) hasta coincidir con el punto R ¿Cuáles son las coordenadas de R? a) (0,0) b) (-2,-8) c) (-2,0) d) (0,-8) e) (2,8) 4) Al trasladar el punto R(-5,3) se obtiene el punto S(0,0) .¿Cuál es el vector de traslación .? a) (5,3) b) (5,-3) c) (10,3) d) (-10,3) e)(-10,-3)

Isometrías 5) Si al punto de coordenadas (8,-2) se le aplica una traslación según el vector (-4,0) y luego una segunda traslación que lo transforma en el punto de coordenadas (2,-7), ¿cuál es el vector de esta segunda traslación .? a) (-2,-5) b) (2,-5) c) (4,-2) d)( -6,-5) e) (-2,-4)