Representación de la Información dentro del Computador Objetivo Tema 2 - Conocer el sistema binario y las transformaciones entre decimal y binario. Sistemas octal y hexadecimal - Conocer las operaciones aritméticas básicas en el sistema binario - Conocer las distintas formas de representación de la información en la memoria del computador Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Contenido Introducción a los sistemas de numeración Sistema de numeración Binario. Conversiones decimal-binario y binario-decimal Sistemas de numeración Octal y hexadecimal Operaciones binarias básicas Representación de números enteros Convenio de representación: Signo y Magnitud Convenio de representación: Complemento a 1 Convenio de representación: Complemento a 2 Convenio de representación: Exceso Z Representación de números reales Coma fija Coma flotante. Formato estándar IEEE 754 Representación de caracteres Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Sistema de Numeración Sistema de numeración Conjunto de símbolos, reglas y convenciones que se utilizan para la representación de cantidades. Base de un sistema de numeración Número que define el sistema y los símbolos distintos que se emplean, cada uno de estos símbolos se denomina dígito Ejemplo. Decimal (10 símbolos), binario (2 símbolos) Sistema de numeración posicional La representacion de una cantidad depende de la oposicion que ocupa. Ejemplo. 45 Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Sistema de Numeración Valor de un número N en un sistema posicional de base b. Se expresa como una secuencia de dígitos de la base. N en base b se escribe an an-1 … a1 a0 , siendo 0 ≤ ai < b, Se calcula como un polinomio, denominado polinomio de potencias de la base N = ∑ ai bi = anbn + ….+ a1b1+ a0b0 Teorema Fundamental de la numeración Esto se puede extender a números reales ( R = an-1… a1 a0 , a-1… a-p ) sin más que utilizar potencias negativas para los dígitos a la derecha de la coma. R = ∑ ai bi= anbn + ….+ a1b1+ a0b0 + a-1b-1 + … + apbp Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Sistema de numeración binario El sistema binario, Base = 2, Dígitos = 0 y 1 (denominados bits) Una cantidad N se representa mediante una secuencia de bits Ejemplo. N = (10112)2 Para calcular la cantidad representada, se desarrolla el polinomio de potencias de la base Ejemplo. N = (10112)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 8 + 0 + 2 + 1 = (11)10 Ejemplo. R = (10,112)2 = 1x21 + 1x2-1 + 1x2-2 = 2 + 0,5 + 0,25 = (2,75)10 El desarrollo de potencias de la base se puede utilizar para obtener la equivalencia decimal de cualquier cantidad representada en cualquier base (no sólo binario) Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Cambio de base (decimal a binario) Método de las divisiones sucesivas Aplicable a números sin parte fraccionaria. Consiste en dividir la cantidad entre la nueva base (b=2). Mientras el cociente sea mayor o igual que la nueva base, dividir de nuevo (esta vez, sólo el cociente). Una vez realizadas todas las divisiones, la secuencia de dígitos es la concatenación del último cociente y los restos de las divisiones anteriores, empezando por la última. Este método también es útil para pasar de decimal a cualquier base (no sólo binario) Ejemplo convertir (124)10 a decimal = ( 1111100)2 Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Cambio de base (decimal a binario) Método de las multiplicaciones sucesivas Aplicable a números que sólo tengan parte fraccionaria Consiste en multiplicar el número por la nueva base (b=2). La parte entera resultante (0 ó 1) será uno de los dígitos de la secuencia. Aplicar de nuevo la multiplicación a la parte fraccionaria restante Ejemplo: convetir (0,3125)10 a base 2 = (0.0101)2 Este método también es útil para pasar de decimal a cualquier base (no sólo binario) Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Cambio de base Conversión de un número Real (e,f) a una base b Convertir la parte entera (e), con lo que obtendremos una secuencia de dígitos de la base b, anan-1 … a1a0 Convertir la parte fraccionaria (f), con lo que obtendremos otra secuencia de dígitos de la base b, a-1a-2 … a-p Reunir los dígitos que se han obtenido por separado, manteniendo la posición de la coma entre los dígitos de e y los de f. R en base b se escribe anan-1 … a1a0 , a-1a-2 … a-p Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Cambio de base Ejemplo: Convertir (10,62510) a binario (1010) 10 = (1010)2 (0,625)10 = (0,101)2 Podemos verificar el resultado sin más que calcular el valor decimal de la secuencia binaria obtenida: (1010,101)2 = 23 + 22 + 2-1 + 2-3 = 8 + 2 + 0,5 + 0,125 = (10,625)10 (10,625)10 = (1010,101)2 Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Sistema de numeración Octal y Hexadecimal Además del binario se utilizan los sistemas octal y hexadecimal, por su facilidad de conversión a/desde binario y porque permiten representar largas secuencias de bits con menos dígitos Octal (base 8 = 23) Dígitos octales: 0,1,2,3,4,5,6,7 Hexadecimal (base 16 = 24 ) Dígitos hexadecimales: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Conversión de base octal a decimal Paso de octal a decimal aplicando el teorema fundamental de numeración Ejemplo: N = (746,12)8 expresado en octal = = 7 x 82 + 4 x 81 + 6 x 80 + 1 x 8-1 + 2 x 8-2 = = 448 + 32 + 6 + 0,125 + 0,03125 = = (486,15625) decimal Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Conversión de base hexadecimal a decimal Paso de hexadecimal a decimal aplicando el teorema fundamental de numeración Ejemplo: N = (F9,E3B)16 = F x 161 + 9 x 160 + E x 16-1 + 3 x 16-2 + B x 16-3 = = 15 x 161 + 9 x 160 + 14 x 16-1 + 3 x 16-2 + 11 x 16-3 = = (249,8894042969) decimal Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Conversión de base hexadecimal a decimal Paso de hexadecimal a decimal aplicando el teorema fundamental de numeración Ejemplo: N = (F9,E3B)16 = F x 161 + 9 x 160 + E x 16-1 + 3 x 16-2 + B x 16-3 = = 15 x 161 + 9 x 160 + 14 x 16-1 + 3 x 16-2 + 11 x 16-3 = = (249,8894042969) decimal Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Conversión de base hexadecimal a decimal Dado que las bases octal y hexadecimal son potencias de 2 (la base binaria), se puede demostrar que: En octal (base 23) un dígito representa a 3 bits En hexadecimal (base 24) un dígito representa a 4 bits Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Conversión de base hexadecimal a decimal Dado que las bases octal y hexadecimal son potencias de 2 (la base binaria), se puede demostrar que: En octal (base 23) un dígito representa a 3 bits En hexadecimal (base 24) un dígito representa a 4 bits Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Cambio de octal y hexadecimal a binario Convertir de octal a binario (15,36)8 = (001 101 , 011 110) 2 Convertir de hexadecimal a binario (F9,E3B)16 = (1111 1001 , 1110 0011 1011) 2 Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Cambio de bases binaria, octal, hexadecimal Cambio de binario a octal (111000011011,10000001)2 = (111 000 011 011 , 100 000 01) 2 = = (7033,402)8 Cambio de binario a hexadecimal (1110 0001 1011 , 1000 0001) 2 = = (E1B,81)16 Prof. Alexandra Correa / IUT-RC

Prof. Alexandra Correa / IUT-RC Código BCD BCD = Binary Coded Decimal Método sencillo de codificación de cantidades utilizando dígitos binarios Se utilizan cuatro bits (denominados D, C, B y A),para codificar un dígito decimal Cada dígito decimal se codifica por separado, mediante una tabla Prof. Alexandra Correa / IUT-RC