MATH 112 Álgebra Intermedia II TALLER #1 – 24 de enero de 2017 PROF. ENID H. RIVERA

PASE DE LISTA NORMAS OBJETIVOS REPRESENTANTE ESTUDIANTIL METODO DE CONTACTO CON LA PROFESORA

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CANTIDAD PUNTOS POR CADA UNO TOTAL DE PUNTOS DE CADA CRITERIO Diario reflexivo & One minute paper 5 20 100 Trabajos colaborativos 4 25 Exámenes parciales Portafolio 1 Examen final Asistencia y participación TOTAL DE PUNTOS 600

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Sistema Cartesiano de Coordenadas La mayor parte de las ecuaciones estudiadas hasta ahora son en una sola variable. Ejemplo: x + 5 = 8 Existen además ecuaciones que pueden contener más de una variable. Ejemplos: x + y = 12 3x + 6y = -15 4y = -6 – 2x

Sistema Cartesiano de Coordenadas Se puede construir la gráfica de una ecuación en una variable sobre una recta numérica. Ejemplo: x + 5 = 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x = 2 - 5 x = -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Sistema Cartesiano de Coordenadas Cuando se resuelve una ecuación en una sola variable se obtiene una sola solución. Ejemplo: x + 5 = 8 x = 3 Cuando se resuelve una ecuación en dos variables se obtienen dos soluciones. Ejemplo: x + y = 12 11, 1 10, 2 9, 3 etc.. Nota que las soluciones son en parejas.

Sistema Cartesiano de Coordenadas El valor de la segunda variable depende del valor de la primera. Cada una de esta soluciones se conoce como un par ordenado, porque el orden es significativo. Las soluciones se escriben de la siguiente forma: (11, 1), (10, 2), (9, 3), etc… Al primer valor se le asigna la x como variable y al segundo valor se le asigna la y.

Sistema Cartesiano de Coordenadas Se puede crear una tabla de valores para resolver la ecuación asignando los valores de x y obteniendo los valores de y o viceversa. x + y = 12 x y 11 1 10 2 9 3 3 9 Nota que la pareja (9, 3) es diferente a la pareja (3, 9)

Sistema Cartesiano de Coordenadas La gráfica de una ecuación en una variable se puede dibujar usando una recta numérica. La gráfica de una ecuación en dos variables requiere usar un plano cartesiano de coordenadas rectangulares (nombrado en honor a Rene Descartes, filósofo y matemático francés). Este consiste de dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto. Las parejas de soluciones (pares ordenados) se conocen como coordenadas del plano.

Sistema Cartesiano de Coordenadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Cuadrante II eje vertical Cuadrante I x – negativa y – positiva x – positiva y – positiva eje de Y ordenada origen eje horizontal eje de X abscisa Cuadrante III Cuadrante IV x – negativa y – negativa x – positiva y – negativa

Sistema Cartesiano de Coordenadas Para marcar coordenadas en el plano cartesiano: La coordenada tiene la forma (x, y) Verificar los signos de x y de y para ver a cual cuadrante pertenece. Marcar el valor de x comenzando desde cero Desde el valor de x marcar el valor de y Marcar un punto en el lugar de intersección

Sistema Cartesiano de Coordenadas Ejemplos: Marca las siguientes coordenadas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1) (4, 5) 2) (-2, 7) (4, 5) 3) (3, -1) 4) (-6, -6)

Sistema Cartesiano de Coordenadas Ejemplos: Marca las siguientes coordenadas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 (-2, 7) 1) (4, 5) 2) (-2, 7) (4, 5) 3) (3, -1) 4) (-6, -6)

Sistema Cartesiano de Coordenadas Ejemplos: Marca las siguientes coordenadas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 (-2, 7) 1) (4, 5) 2) (-2, 7) (4, 5) 3) (3, -1) 4) (-6, -6) (3, -1)

Sistema Cartesiano de Coordenadas Ejemplos: Marca las siguientes coordenadas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 (-2, 7) 1) (4, 5) 2) (-2, 7) (4, 5) 3) (3, -1) 4) (-6, -6) (3, -1) (-6, -6)

Sistema Cartesiano de Coordenadas Práctica: Marca las siguientes coordenadas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1) (5, -1) 2) (1, -1) 3) (-5, -2) 4) (7, -6) 5) (1, 7) 6) (-3, -6) 7) (1, -2) 8) (9, -2)

Sistema Cartesiano de Coordenadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 (4, 8) x + y = 12 (5, 7) (6, 6) x y par ordenado 5 7 (5, 7) (8, 4) 6 6 (6, 6) 4 8 (4, 8) 8 4 (8, 4)

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal en dos variables es una de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B, C son números reales y por lo menos A ó B no es igual a cero. En la ecuación lineal el polinomio es de grado 1.

Gráfica de la ecuación lineal Para dibujar la gráfica de una ecuación lineal se sigue el siguiente procedimiento: Resolver (despejar) la ecuación para y Hacer una tabla de pares ordenados, asignando valores a x para encontrar el valor de y. Localizar los puntos en el plano cartesiano Unir los puntos.

Gráfica de la ecuación lineal Ejemplo: x + y = 5 D = { 0, 4, -3, 2 } 1) y = 5 – x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 x y = 5 – x coord. y = 5 – 0 (0, 5) y = 5 y = 5 – 4 4 (4, 1) y = 1 y = 5 – -3 -3 (-3, 8) y = 8 y = 5 – 2 2 (2, 3) y = 3

Pendiente y ecuación de la recta

Pendiente de la recta La pendiente de una recta es una medida de inclinación de la recta. Es una razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal de cualesquiera dos puntos elegidos en una recta. El cambio horizontal ocurre en los valores de x Cambio positivo si es a la derecha; negativo a la izquierda El cambio vertical ocurre en los valores de y Cambio positivo si es hacia arriba; negativo hacia abajo

Pendiente de la recta Evalúa el cambio: positivo o negativo

Pendiente de la recta Evalúa el cambio: positivo o negativo

Pendiente de la recta

Pendiente de la recta Cambio vertical: 6 – 2 = 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 (3, 6) Cambio vertical: 6 – 2 = 4 (1, 2) Cambio horizontal: 3 – 1 = 2

Pendiente de la recta Punto 2 ( x2 , y2 ) y2 y2 – y1 Punto 1 Cambio vertical y2 – y1 Punto 1 ( x1 , y1 ) y1 Pendiente de una recta que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 x2 – x1 Cambio horizontal

Pendiente de la recta Ejemplos: Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (-6 , -1) y (3, 5) Designamos el primer punto como ( x1 , y1 ) y el segundo punto como ( x2 , y2 ) Si designamos los puntos de la otra manera también obtendríamos el mismo resultado

Pendiente de la recta Práctica: Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (4, 1) y (5, 6) (5, -6) y (6, -5)

Pendiente de la recta La pendiente de una recta se puede determinar también por medio de su gráfica. Se busca el cambio vertical (en y) y se divide por el cambio horizontal ( en x)

Pendiente de la recta  y = -3  x = -4 pos neg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1. Escoger dos puntos de la recta.  y = -3  x = -4 2. Determina el cambio vertical (en y) 3. Determina el cambio horizontal (en x) pos neg En general si la pendiente sube de izquierda a derecha es positiva

Pendiente de la recta  y = -8  x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1. Escoger dos puntos de la recta.  y = -8 2. Determina el cambio vertical (en y) 3. Determina el cambio horizontal (en x)  x = 1 En general si la pendiente baja de izquierda a derecha es negativa.

Pendiente de la recta  y = 0  x = 6 ó -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1. Escoger dos puntos de la recta.  y = 0 2. Determina el cambio vertical (en y)  x = 6 ó -6 3. Determina el cambio horizontal (en x) En general la pendiente de una recta horizontal es siempre 0

Pendiente de la recta  y = - 4  x = 0 En general la pendiente de una 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 1. Escoger dos puntos de la recta. 2. Determina el cambio vertical (en y)  y = - 4  x = 0 3. Determina el cambio horizontal (en x) En general la pendiente de una recta vertical es indefinida

Determina la Pendiente de las rectas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 2) 1) 3)

Interceptos El intercepto en x es el punto en que una recta interseca el eje de x. En ese punto el valor de y es cero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Intercepto en x es 7 Intercepto en x es -4

Interceptos El intercepto en y es el punto en que una recta interseca el eje de y. En ese punto el valor de x es cero. También se conoce como la ordenada en el origen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Intercepto en y es 6 Intercepto en y es -1

Ecuación de la recta Una ecuación lineal se expresa de varias formas. Una forma común, conocida como la forma canónica, es la siguiente: ax + by = c Esta forma tiene muchas variaciones y lo común es despejar por y para poder construir la gráfica de la recta.

Ecuación de la recta m representa la pendiente de la recta Otra forma de expresar la ecuación lineal es la forma pendiente-ordenada en el origen. Esta forma se expresa de la siguiente manera: y = mx + b m representa la pendiente de la recta b representa el intercepto en y

Determinar la pendiente Podemos determinar la pendiente de una recta dada la ecuación de la recta. Ejemplos: Recuerda: y = mx + b Pendiente (m) = 4 Intercepto en y (b) = 8 1) 2) 3) m = 2 b = 5 m = 1 b = -6

Determinar la pendiente 6) 4) m = -3 b = -2 5) 7)

Determina la pendiente y el intercepto 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10)

Grafica de recta usando pendiente Se puede dibujar la gráfica de una recta utilizando la pendiente y el intercepto en y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Dibuja la gráfica de la recta: 1)

Grafica de recta usando pendiente Ejemplos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Dibuja la gráfica de la recta: 2)

Grafica de recta usando pendiente Ejemplos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 Dibuja la gráfica de la recta: 3)

Ecuación de recta usando pendiente e intercepto en y Se puede escribir la ecuación de una recta utilizando la pendiente y el intercepto en y de la recta. y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto en y. EJEMPLO: Pendiente es 3 y el intercepto en y es -2 b = 2/5, m = -9/5 m = 9, intercepto en y es 0.

Ecuación de recta usando punto-pendiente Se puede escribir la ecuación de una recta utilizando la pendiente y un punto de la recta. Forma punto-pendiente y – y1 = m(x – x1) donde m es la pendiente y (x1 , y1) es el punto dado. EJEMPLO Dado que m = -1/2 y que la recta pasa por el punto (4, -1), determina la ecuación de la recta.

Ecuación de recta usando punto-pendiente EJEMPLO Dado que la pendiente es 5 y que la recta pasa por el punto (-6,8), determina la ecuación de la recta.

Ecuación de recta usando dos puntos Se puede escribir la ecuación de una recta utilizando dos puntos de la recta. Primero determina la pendiente Segundo aplica la forma punto-pendiente y – y1 = m(x – x1)

Ecuación de recta usando dos puntos EJEMPLOS: Escribe la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: (4,-1) (-8,5) (-2,4) (1,-2)

OMP 1 TRABAJO COLABORATIVO #1 PRUEBA PARCIAL #1 DR 1