CONCEPTOS Y PROPIEDADES DE LOS LIMITES

DEFINICION INFORMAL DE LIMITE. Si f(x) se hace arbitrariamente próximo a un único número L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados, decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a c, es L, y escribimos lím f(x) = L x  c FUNCIONES QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO. Sea c un número real y f(x) = g(x) para todos los x  c en un intervalo abierto que contiene a c. Si el límite de g(x) cuando xc existe, entonces también existe el límite de f(x) y además lím f(x) = lím g(x) x  c x  c

LA EXISTENCIA DE UN LIMITE. Si f es una función y si c y L son numeros reales, el limite de f(x) cuando x tiende hacia c es L si y sólo si lím f(x) = L x  c - lím f(x) = L x  c + ESTRATEGIA PARA HALLAR LIMITES. Aprender a reconocer qué límites se pueden calcular por sustitución directa. 1. Si el límite de f(x) cuando x  c puede evaluar por sustitución directa, inténtese encontrar una función g(x) que coincida con f en todos los x salvo en x = c. (Escójase g de manera que su límite pueda calcularse por sustitución directa.) 2. Aplicar el teorema de funciones que coinciden salvo en un punto para llegar a la conclusión de que 3. lím f(x) = lím g(x) = g(c) x  c x  c

ALGUNOS LIMITES BASICOS. Si b y c son números reales y n un entero (positivo si c = 0), entonces se cumple 1. lím b = b x  c 2. lím x = c x  c 3. lím xn = cn x  c PROPIEDADES DE LOS LIMITES. Si b y c son números reales, n un entero positivo y f, g funciones que tienen límites cuando xc, entonces son ciertas las siguientes propiedades: Múltiplo escalar.

Suma o diferencia. Producto. Cociente. Potencia.

LIMITE DE UN POLINOMIO. Si p es un plonomio y c es un número real, entonces lím p(x) = p(c) x  c DEFINICION DE CONTINUIDAD. Continuidad en un punto: Una función f se dice continua en c si se verifican las condiciones: 1. f(c) está definido 2. lim f(c) existe xc 3. lim f(x) = f(c) xc Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un intervalo (a, b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo.

DEFINICION DE LIMITE. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (excepto posiblemente en c) y sea L un numero real. La afirmación Lím f(x) = L xc Significa que para cada   0 existe un   0 tal que f(x) - L  siempre que 0 x - c  