EPS-UAM Curso de doctorado Modelos de Conectividad 2005-2006 Redes libres de escala EPS-UAM Curso de doctorado Modelos de Conectividad 2005-2006 13/11/2018 Redes libres de escala

Concepto scale-free No hay longitud característica Distribución por ley de potencias Existencia de cutoff 13/11/2018 Redes libres de escala

Redes en el mundo real Muy comunes en el mundo real: internet, redes sociales, redes biológicas Existencia de hubs Robustas frente a ataques aleatorios Frágiles frente a ataques calculados 13/11/2018 Redes libres de escala

Modelo Barabási y Albert (1999) Importancia de dinámica de la red Crecimiento Conexión preferencial (preferential attachement) Topología es subproducto de dinámica de red 13/11/2018 Redes libres de escala

Crecimiento Grafos aleatorios y de mundo pequeño parten de número fijo de nodos Grafos libres de escala parten de un número pequeño de nodos y se van añadiendo a la red Mecanismo común en redes de mundo real 13/11/2018 Redes libres de escala

Conexión preferencial Probabilidad de conexión en grafos aleatorios y de mundo pequeño independiente de grado del nodo En mundo real, nodos muy conectados tienden a atraer a los nuevos nodos: probabilidad depende del grado 13/11/2018 Redes libres de escala

Algoritmo (I) Se parte de número pequeño de nodos m0 En cada paso de tiempo, se añade un nodo con m (<= m0) ramas Probabilidad de conexión a un nodo según su grado 13/11/2018 Redes libres de escala

Algoritmo (II) Probabilidad de conexión En tiempo t, N=t+m0 nodos y mt ramas Exponente a=3, independiente de m 13/11/2018 Redes libres de escala

Modelos teóricos Intentan reproducir resultados numéricos, y del mundo real, del algoritmo de conexión preferencial Modelo continuo Ecuación maestra Rate-equation 13/11/2018 Redes libres de escala

Modelo teórico continuo (I) Barabási, Albert, Jeong (1999) Evolución temporal de grado de un nodo Distribución de los grados 13/11/2018 Redes libres de escala

Modelo teórico continuo (II) Distribución de grados de los nodos independiente del tiempo y del tamaño de la red Estado estacionario de red libre de escala El menos plausible, por ser redes discretas 13/11/2018 Redes libres de escala

Análisis según ecuación maestra (I) Dogorotsev, Mendes, Samukhin (2000) Estudio de probabilidad de que un nodo introducido en ti tenga grado k en t Ecuación maestra 13/11/2018 Redes libres de escala

Análisis según ecuación maestra (II) Distribución de grados Similar a modelo continuo 13/11/2018 Redes libres de escala

Rate-equation Krapivsky, Redner, Leyvraz (2000) Estudio de número medio de nodos con grado k en tiempo t Equivalente a estudio según ecuación maestra 13/11/2018 Redes libres de escala

Crecimiento y conexión preferencial Son necesarias ambas características para generar una red libre de escala Si se elimina alguna de los dos, la red resultante no se parece a una red libre de escala 13/11/2018 Redes libres de escala

Redes con crecimiento, sin conexión preferencial Probabilidad independiente del grado del nodo Distribución de grados con decrecimiento exponencial 13/11/2018 Redes libres de escala

Redes sin crecimiento, con conexión preferencial Ley de potencias no es estacionaria Distribución de grados evoluciona desde una ley de potencias hacia una gaussiana 13/11/2018 Redes libres de escala

Propiedades Distribución de grados con cola de ley de potencias Longitud de camino media Correlaciones Coeficiente de agrupamiento Espectro 13/11/2018 Redes libres de escala

Longitud de camino media l Menor que para un grafo aleatorio Heterogéneo vence a homogéneo Logarítmico con tamaño de red Topología diferente de red aleatoria con distribución de grados de ley de potencia 13/11/2018 Redes libres de escala

Correlaciones en grado de nodos Grados de nodos de grafo aleatorio sin correlación Estudio de número de pares de nodos conectados, con grados k y l Existencia de correlación en grado de los nodos en redes libres de escala 13/11/2018 Redes libres de escala

Coeficiente de agrupamiento C Mayor que para red aleatoria Decrece con tamaño de red, N Diferente de redes de mundo pequeño, con C independiente de N No muy ajustado a algunas redes reales 13/11/2018 Redes libres de escala

Espectro Forma triangular, con decaimiento según ley de potencias Diferente de forma semicircular de red aleatoria Comportamiento de mayor autovalor sugiere también correlaciones Crecimiento de número de ciclos con tamaño N 13/11/2018 Redes libres de escala

Ejercicios Realizar un programa que genere redes libres de escala según el modelo de Barabási y Albert 13/11/2018 Redes libres de escala

Ejercicios Sean dos conjuntos A={ai} y B={bi}, algunos de cuyos elementos se relacionan, [ai,bj]. Se genera una red en B de forma que existe la rama (bk,bl) si existe un am que se ha relacionado con los dos, [am,bk], [am,bl]. Estudiar las propiedades del grafo resultante (scale-free, l, C, ...) variando la distribución de probabilidad (uniforme, gaussiana) al generar los pares [ai,bj] 13/11/2018 Redes libres de escala