Intervalos de confianza bootstrap métodos percentil Programa de doctorado Estadística, Anàlisi de dades i Bioestadística Métodos de Montecarlo y Estadística computacional Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques

El método percentil. Definición Situación de partida: q parámetro de interés, su estimador “plug-in”, estimador bootstrap de la distribución de IC percentil bootstrap de q, con recubrimiento nominal 1 – a: En la práctica se suele aproximar mediante donde corresponde al percentil muestral p obtenido a partir de B réplicas bootstrap: Intervalos de confianza percentil bootstrap

Motivación método percentil (i) Sea estimador de la desviación estándar de Recordemos: si entonces es IC “estándar” con recubrimiento 1 – a, aproximadamente Extremos del IC estándar equivalentes a percentiles a/2 y 1 – a/2 de la distribución de Intervalos de confianza percentil bootstrap

Motivación método percentil (ii) Si cierto en general también a su vez bien emulada por la estima bootstrap de la distribución de Es decir: Pero ¿y si no normal? (p.e. q = r, coef. de correlación): ¿existe transformación normalizadora y estabilizadora de varianza? Intervalos de confianza percentil bootstrap

Motivación método percentil (y iii) Si existe g, monótona creciente, tal que En escala f, intervalo percentil  estándar Monotonicidad de g  en escala q = g-1(f), IC percentil (¡obtenido directamente, sin conocer g!) aproximadamente correcto Intervalos de confianza percentil bootstrap

Intervalos de confianza percentil bootstrap En resumen: Esquemáticamente: donde es la distribución bootstrap de y F es la función de distribución N(0,1) Por lo tanto, en estas condiciones define IC g-1 Intervalos de confianza percentil bootstrap

Modelo para el sesgo y la heteroscedasticidad Supongamos que existe una transformación g, normalizadora, pero que no corrige el sesgo ni estabiliza la varianza, en concreto sea Intervalos de confianza percentil bootstrap

Construcción de los IC BCa. Intervalo en la escala normal Justificació per a l’extrem superior: Intervalos de confianza percentil bootstrap

Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala normal Intervalos de confianza percentil bootstrap

Construcción de los IC Bca. Intervalo en la escala original Por lo tanto, el intervalo en la escala q: tendrá extremos de la forma: Intervalos de confianza percentil bootstrap

Estima de la corrección del sesgo z0 Falta determinar el valor del parámetro de corrección del sesgo, z0, y de la “constante de aceleración”, a Estima de z0: En efecto: Intervalos de confianza percentil bootstrap

Estima de la constante de aceleración Efron, para funcionales Ui es la función empírica de influencia asociada al dato i: Alternativamente, aproximación jackknife: Todo esto viene de la relación entre la constante de aceleración y la asimetría de la función “score”: Intervalos de confianza percentil bootstrap

Resumen de intervalos percentil IC percentil: Validez:  transformación normalizante, centrada y estabilizadora de varianza (no necesario conocerla) Definición: IC percentil corregido para el sesgo, acelerado (BCa): Validez:  transformación normalizante (no necesario conocerla) Si sesgo pero homoscedasticidad  a = 0: intervalo “corregido para el sesgo”: BC Intervalos de confianza percentil bootstrap