Apuntes de Matemáticas 3º ESO CUERPOS GEOMÉTRICOS U.D. 9 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO PRISMAS U.D. 9.3 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO PRISMAS Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases. La altura, h, de un prisma es la distancia entre las bases paralelas y siempre perpendicular al plano de las bases. Ejemplos: h h h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO TIPOS DE PRISMAS PRISMAS RECTOS Son los prismas cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. PRISMAS OBLICUOS Son los prismas cuyas aristas laterales NO son perpendiculares a las bases. PRISMAS REGULARES Son los prismas cuyas caras son polígonos regulares. PARALELEPÍPEDOS Son los prismas cuyas caras son paralelogramos. ORTOEDROS Son los prismas paralelepípedos cuyas caras son rectángulos. CUBO O EXAEDRO REGULAR Es el prisma paralelepípedo cuyas caras son cuadrados. También se puede clasificar al mismo tiempo según la forma de su base @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO PARALELEPÍPEDOS Son prismas donde todas sus caras son paralelogramos. ORTOEDRO CUBO ROMBOEDRO ROMBOIDEDRO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Propiedades métricas del PRISMA Sus bases, ambas iguales, son siempre polígonos de n lados. Sus caras laterales, iguales o no, son siempre paralelogramos, cuadrados y rectángulos en prismas rectos; y rombos y romboides en prismas oblicuos. Presenta varios tipos de diagonales: DIAGONALES DE LAS BASES: Si la base es rectangular, presenta dos diagonales iguales. Sea d la diagonal: Por Pitágoras: d = √(l2 + a2) DIAGONALES DE CARAS LATERALES: Presenta dos diagonales iguales por cada cara lateral si el prisma es recto. Por Pitágoras: d’ = √(h2 + a2) en una cara. d’’ = √(l2 + a2 ) en otra cara lateral distinta. d’’ h d’ d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Propiedades métricas del PRISMA DIAGONAL DE UN PRISMA Se llama así a la que une vértices opuestos respecto al centro geométrico del prisma. Se denota por D. En un prisma de base rectangular o cuadrada hay cuatro y todas del mismo valor. Es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son d y h, diagonal de la base y altura. Luego se puede y se debe utilizar el Teorema de Pitágoras: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Un prisma recto de base rectangular presenta las siguientes dimensiones: Largo=4 cm, ancho=3 cm y alto=5cm. Hallar sus diagonales. Diagonales de la base: d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm Diagonales laterales: d’= √(l2 + h2) = √(16 +25) = √ 41 cm d’’= √(a2 + h2) = √(9 +25) = √ 34 cm Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = = √ (16 + 9 + 25) = √ 50 = √ 2.25 = 5.√2 cm D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_2 Un prisma recto de base rectangular presenta doble largo que ancho, la altura mide 10 cm y la diagonal del prisma mide 13 cm. Hallar las dimensiones de la base. Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = 13 Como l = 2.a y h= 10 13 = √ (4.a2 + a2 + 100) Elevando todo al cuadrado: 169 = 5.a2 + 100 69 = 5.a2 a2 = 69/5 a = √69/5 l = 2.a l = 2.√69/5 D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 Un prisma recto de base rectangular presenta una altura 3 cm mayor que el ancho, el largo mide 5 cm y la diagonal del prisma mide 9 cm. Hallar el ancho y la altura. Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = 9 Como h = a + 3 y l = 5 9 = √ (52 + a2 + (a+3)2) Elevando todo al cuadrado: 81 = 25 + a2 + a2 + 6.a + 9 2.a2 + 6.a - 47 Ecuación de 2º grado a = (- 6 +/- √(36+376))/4 a = 3,575 cm l = 2.a = 7,15 cm D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO