1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios. TEMA 3 : DETERMINANTES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

3.1.DETERMINANTES DE ORDEN DOS El determinante de una matriz de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota: Y se calcula: Ejemplos:

3.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES El determinante de una matriz de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota: Y se calcula:

Propiedades de los determinantes: El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. < Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de las demás. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

1ª El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: Veamos dos ejemplos: 1ª El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: En general:

Veamos tres ejemplos: 2ª Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: En general:

Veamos dos ejemplos: 3ª Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo: En general:

Veamos dos ejemplos: 4ª Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero: En general:

Veamos dos ejemplos: 5ª Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número : En general:

Veamos dos ejemplos: 6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero: En general:

7ª Veamos ejemplos:

8ª Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía: Veamos dos ejemplos: En general:

9ª Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de las demás: Veamos dos ejemplos: En general:

10ª El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: Veamos un ejemplo:

3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO “Menor de orden 3” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 3 filas y 3 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 3. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 3 de la matriz inicial. “Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial. “Menor” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 3: Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 2: “Menor de orden 2” de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial. “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada n × n destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz (n–1) × (n–1). Su determinante es un menor de orden n–1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij. “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 3 : “Menor complementario” de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 × 3 destacamos un elemento aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 × 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.

3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO “Adjunto” de un elemento en una matriz cuadrada: Se llama adjunto de aij, al número Aij = (–1)i+j ∙ αij es decir al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i+j sea par o impar. Para simplificar el cálculo también se puede utilizar las matrices de signos: Ejemplos:

4.6 MATRIZ INVERSA. Matriz inversa: Para que una matriz A cuadrada posea matriz inversa tiene que cumplirse la siguiente condición: El determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero. |A|≠ 0 En dicho caso, para calcular la matriz inversa se utiliza la siguiente formula para calcularla: Ejemplos:

Propiedades del producto de matrices: ASOCIATIVA: Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”

2.4 MATRICES CUADRADAS Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros. Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4.

2.5 n-UPLAS DE NÚMEROS REALES n-Uplas de números reales: Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales. Combinación lineal de vectores: Dados El vector formado por Se llama combinación lineal de los vectores Una combinación lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un número y sumarlas.

Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.

el máximo rango posible es 2 2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I. Ejemplos: el máximo rango posible es 2 porque

2.7 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES Si tenemos un sistemas de ecuaciones lineales, podemos escribir dicho sistema de una forma matricial de forma que: Si nos fijamos en los coeficientes: Escribimos la matriz de coeficiente: Y la matriz incógnita: y la matriz de los términos independientes: Por tanto tenemos que el sistema se puede escribir así

ESQUEMA TEMA 2 ÁLGEBRA DE MATRICES 2.1. NOMENCLATURA Y DEFINICIONES Que es una Matriz Dimensión de una Matriz Matriz Cuadrada. Matrices Iguales. Matriz Traspuesta Matriz Simétrica. 2.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices Producto de un número por una matriz Producto de una matriz fila por una matriz columna Producto de Matrices. 2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Propiedades de la Suma. Asociativa. Conmutativa. Elemento Neutro Opuesta. Propiedades del producto de números por matrices Distributiva I Distributiva II Producto por el número 1 Propiedades del Producto NO Conmutativa. Distributivas. 2.4. MATRICES CUADRADAS Matriz Unidad. Matriz Inversa. 2.5. n-UPLAS DE NÚMEROS REALES - Dependencia e independencia Lineal. - Combinación Lineal de vectores. 2.6. RANGO DE UNA MATRIZ 2.7.FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.