ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II UNMSM Facultad de Química e Ingeniería Química ESTADISTICA A - 02 jgarciap@unmsm.edu.pe calidadtotal@hotmail.com ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II UNMSM Facultad de Química e Ingeniería Química ESTADISTICA DESCRIPTIVA Tema Nº 02: MEDIDAS DE POSICION, DISPERSION Y DEFORMACION 2008 - II Ing. Jose Manuel García Pantigozo ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

Objetivos de Aprendizaje Calcular la media aritmética, la mediana y las moda. Explicar las características, empleo, ventajas y desventajas de cada promedio. Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.

Objetivos de Aprendizaje Calcular varias medidas de dispersión para datos originales o no agrupados. Calcular varias medidas de dispersión para datos organizados en una distribución de frecuencias. Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada una de las medidas de distribución discretas. Calcular y aplicar el coeficiente de variación y del coeficiente de asimetría. Analizar la curtosis de una distribución.

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II MEDIDAS DE POSICION ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Tendencia Central Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del conjunto. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de información. Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango Media Aritmética Media Geométrica Media Armónica Moda Mediana ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II MEDIA ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Aritmética de una Muestra I Datos Agrupados: k å X = f * X i i i = 1 ni n fi : Frec. relativa Clase i = MCi : Marca Clase i X : Media Aritmética k : N° de clases ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra ai : Amplitud de Clase i xi ai ni Xi+1 _ ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

INTERVALOS MC fi fi*MC 1276.96 X = (1265.45 - 1268.25 ] 1266.85 8 10134.80 (1268.25 - 1271.05 ] 1269.65 9 11426.85 (1271.05 - 1273.85 ] 1272.45 16 20359.20 (1273.65 - 1276.65 ] 1275.25 23 29330.75 (1276.65 - 1279.45 ] 1278.05 12 15336.60 (1279.45 - 1282.25 ] 1280.85 21 26897.85 (1282.25 - 1285.05 ] 1283.65 13 16687.45 (1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 10291.60   110 140465.10 1276.96 X =

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Aritmética de una Muestra II Datos NO Agrupados: n å X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra X i i = 1 X = n ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

1279,5 1285,0 1280,0 1273,0 1284,0 1280,5 1275,5 1278,0 1275,0 1267,0 1272,0 1282,0 1276,0 1269,5 1266,0 1273,5 1285,5 1283,5 1277,5 1286,0 1281,0 1278,5 1276,5 1271,5 1284,5 1268,5 1272,5 1271,0 1265,5 n å X i i = 1 X = n 56191.5 X = 44 X = 1277.1

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media de una Población ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Ponderada I Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias. å = k i (wi*Xi) 1 Xw = wi ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Ponderada II å = k i (w*X) 1 Xw = w 23 67 xi wi Xi*wi 65 3 195 66 5 330 67 6 402 68 7 476 69 2 138 23 1541   1541 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Geométrica I La media geométrica es otro estadígrafo de tendencia central, pero de poca utilización. El cálculo de la media geométrica se puede hacer en datos con frecuencia y datos sin frecuencias Datos sin Frecuencias Media geométrica Intervalos Cerrados Datos Con Frecuencias Inter. Cerrados / Abiertos ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Geométrica II Para el cálculo de la media geométrica sin frecuencias se aplica la siguientes expresión: ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Geométrica III Si los datos fueran los siguientes: Su media geométrica sería: ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Geométrica IV Para datos en tablas Frecuencias Se aplica la siguiente expresión: ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Media Geométrica V Para intervalos cerrados, se considera la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta. La media Geométrica se calculará con el valor de la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la frecuencias absoluta. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Propiedades de la Media Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. Al evaluar la media se incluyen todos los valores. Un conjunto de datos sólo tiene una media. Esta es un valor único. La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones. La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor es con respecto a la media, siempre será cero. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II MEDIANA ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Mediana I Datos NO Agrupados: Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces la Mediana está dada por: Si n es impar , la Mediana es exactamente el valor del medio Si n es par , la Mediana es el promedio de los valores centrales n + 1 2 Me = ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS 65 36 49 84 79 43 78 37 40 68 Pares: Me = (49 +65)/2 = 57 80 75 56 45 64 53 74 34 Impares: Me = 64

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Mediana II Datos Agrupados: n 2 ( - N ) Me L a e-1 = + e n e Ne-1= fi S i = e-1 i = 1 ne L : Límite inferior Clase Mediana (C Me) Ne-1 : Frec. Acumulada hasta antes (C Me) ne : Frecuencia Absoluta (C Me) ae : Amplitud (C Me) n : Tamaño de la muestra ae L xe ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS INTERVALOS fi Fi (1265.45 - 1268.25 ] 8 (1268.25 - 1271.05 ] 9 17 (1271.05 - 1273.85 ] 16 33 (1273.85 - 1276.65 ] 23 56 (1276.65 - 1279.45 ] 12 68 (1279.45 - 1282.25 ] 21 89 (1282.25 - 1285.05 ] 13 102 (1285.05 - 1287.85 ] 110  

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Datos Agrupados: n 2 ( - N ) L e-1 Me = + a e n e L : 1273.85 Ne-1 : 33 ne : 23 ae : 2.8 n : 110 : 1276.33 Ne-1= fi S i = e-1 i = 1 ne ae L xe Me ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II M O D A ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Se define como “La moda” al valor que mas repite en una serie de datos. Estos valores pueden ser: Datos no agrupados Datos agrupados en intervalos de clases ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Por ejemplo: La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. La Moda es: 2 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Por ejemplo: La moda, cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, se establece los valores que mas se repiten. La Moda es: 2 y el 5, es decir la serie de nueceros sería Bimodal ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Por ejemplo: La moda cuando los datos no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , se establece los valores que mas se repiten. La Moda en este caso no existiría. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda La Moda es: 4 Por ejemplo: La moda, cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, será el valor que posee mayor frecuencia. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda La moda , cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , con intervalos de clase, se debe aplicar la siguiente Formula. Limite inferior del intervalo en en donde se encuentra la Moda El “ “ es la diferencia en la frecuencia Absoluta mas cercana a la frecuencia de valor mayor. El “ “ es la diferencia entre la frecuencia inmediatamente mayor a la frecuencia de mayor Valor. El valor “c” corresponde al Tamaño del Intervalo ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Intervalo de mayor frecuencia Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor Frecuencia C = 4 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados Intervalo de mayor frecuencia ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados / Abiertos Cuando se trabaja con intervalos cerrados abiertos debemos considerar ahora “El limite Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en un dígito. Los demás valores Participan de la misma forma ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II La Moda ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Tendencia Mediana 0,5000 Moda 0,4500 Media Aritmética 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 Q1 Q2 Q3 Q4 0,1000 0,0500 0,0000 1 2 3 4 5 6 7 Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II MEDIDAS DE DISPERSION ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Dispersión Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas. Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango Desviación Media Rango Percentil Grafico de Cajas Rango Rango Intercuartílico Varianza Muestral ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Amplitud Total Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Amplitud Cuartílica Amplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor Amplitud Total =Q3 – Q1 n 4 ( - N ) Q1 L a e-1 = + e n e 3n 2 ( - N ) Q3 L e-1 = + a e n e ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Varianza Poblacional å (Xi - µ)2 ό2 = N ό2 : Variancia Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Desviación Estándar Poblacional å (Xi - µ)2 ό = N ό : Desviación Estándar Poblacional µ : Media Poblacional Xi : i-ésimo valor observado N : Tamaño de la población ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Varianza Muestral Datos Agrupados: Datos NO Agrupados: _ k å f ( - X i ) 2 i S2 = i = 1 _ n n - 1 å ( - X i ) 2 ae ne xi xi-1 xk _ x ni nk S2 = i = 1 n - 1 s2 : Variancia Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Desviación Muestral Datos Agrupados: Datos NO Agrupados: _ k å S = f ( - X i ) 2 i _ n i = 1 å ( X - X ) 2 n - 1 S = n - 1 i ne i = 1 ni ae nk s. : Desviación Muestral X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra _ x xi-1 xi xk fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases _ ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Desviación Media Datos Agrupados: Datos Agrupados: Datos NO Agrupados: MD : Desviación Media X : Media Aritmética Xi : i-ésimo valor observado n : Tamaño Muestra MD = å = n i - X 1 _ fi : Frec. relativa Clase i Xi : Marca Clase i X : Media Aritmética ni : Frec. absoluta Clase i n : Tamaño Muestra k : N° de clases | | : valor absoluto ae ne xi xi-1 xk _ x ni nk å = 1 i f MD = - X k ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Desviación/Rango Inter-Cuartílico RQ = (Q3– Q1) / 2 L : Límite inferior Qi; i = 1,2,3,4 NQí-1 : Frec. Absoluta acumulada hasta antes de la clase Qi aQi : Amplitud cuartil i-ésimo nQi : Frecuencia Absoluta de la clase del cuartil i-ésimo n : Tamaño de la muestra i Q n N a L ÷ ø ö ç è æ - * + = 1 4 Datos Agrupados: ae nQ NQ -1= fi S i = Q -1 i = 1 Datos NO Agrupados: Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el cuartil Qi, para i = 1, 2, 3, 4 está dado por Qi = Puede ser necesario interpolar entre valores sucesivos Nota Q2 = Me i(n + 1) 4 xQ ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Amplitud Centílica 10n 100 ( - N ) 10º Centil L a e-1 = + e n e 90n 100 - ( N ) 90º Centil L + a e-1 = e n e ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II MEDIDAS DE DISPERSION ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Coeficiente de Variación C.V. = (100) s X ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Dispersión: Rango Percentil RP = (P90 – P10) L : Límite inferior percentil i-ésimo NPí-1 : Frec. Absoluta acumulada hasta antes de la clase percentil i-ésimo aPi : Amplitud percentil i-ésimo nPi : Frecuencia Absoluta de la clase del percentil i-ésimo n : Tamaño de la muestra i P n N a L ÷ ø ö ç è æ - * + = 1 100 Datos Agrupados: xP ae nP NP -1= fi S i = P -1 i = 1 Datos NO Agrupados: Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el percentil Pi, para i = 1, 2, .., 99 está dado por Pi = Puede ser necesario interpolar entre valores sucesivos Nota P50 = Me i(n + 1) 100 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Gráficos de Cajas Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como Centro Dispersión Desviación de la asimetría Identificación de las observaciones (valores atípicos) Q1 Q2 Q3 3 I RQ Mediana Valores Atípicos (rangQ3- rangQ1) / (K-1) D = Índice de Dispersión = ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Gráficos de Cajas Comparaciones gráficas entre conjuntos de datos 70 80 90 100 110 120 1 2 3 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a4: 3 n 4 å i=1 (xi - x) a4= S4 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango a4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica a4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica a4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k: 1 (Q3 - Q1) 2 K = 0,263 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango P90 - P10 k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

Kurtosis (K): Apuntamiento 3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias). Asimetría (A): Simetría o Asimetría A= 0 A< 0 A> 0 Kurtosis (K): Apuntamiento K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K= 0.263 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K> 0.263 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango Mesocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Apuntamiento (Curtosis o Kurtosis) K< 0.263 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal. ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Asimetría (Sesgo) Miden la mayor o menor simetría de la distribución. Existen dos medidas de este tipo: 1er Coeficiente de Asimetría: Media - Moda a1 = Desviación Estándar Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango 2do Coeficiente de Asimetría: Desviación Estándar 3(Media – Mediana) a1 = ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Asimetría (Sesgo) 3er Coeficiente de Asimetría: S2 Σ (xi - X)2/n a1 = Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango a1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva a1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa a1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar: n å 3 (xi-x) 1 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango a= × i=1 1 N s 3 ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Medidas de Asimetría (Sesgo) Coeficiente de Asimetría para datos agrupados 3 i f s × å n i=1 1 (xi-x) a= N Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Asimetría Positiva A< 0 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Asimetría Positiva Mo < Me < X Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Simetría A= 0 Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Simetría Mo = Me = X Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  Índice de simetría de Pearson:                Índice de simetría de Fisher:  ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Asimetría Negativa Mo > Me > X Medidas de Tendencia Central. Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de unformación. Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del comnjunto. La medidas más utilizadas son: Media aritmética o promedio Media geométrica Media armónica Moda Mediana Semi Rango ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION Y CALIDAD UNMSM - FQIQ - IQ - 2005 II Ejercicio: Se desea determinar las características de resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión del concreto ofrecido por cierto proveedor. Para ello se les solicita 125 probetas de 0,5 pies de diámetro por 1 pie de longuitud. La carga de tensión se mide en lb/pug2. El laboratorio de resitencia de materiales proporciona la tabla de frecuencias Clase Límites Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia de Clase de Clase Absoluta Abs. Acuml. Relativa Relat. Acuml. 1 407,5- 412,5 410 4 4 0,032 0,032 2 412,5- 417,5 415 5 9 0,040 0,072 3 417,5- 422,5 420 8 17 0,064 0,136 4 422,5- 427,5 425 14 31 0,112 0,248 5 427,5- 432,5 430 13 44 0,104 0,352 6 432,5- 437,5 435 19 63 0,152 0,504 7 437,5- 442,5 440 20 83 0,160 0,664 8 442,5- 447,5 445 15 98 0,120 0,784 9 447,5- 452,5 450 12 110 0,096 0,880 10 452,5- 457,5 455 6 116 0,048 0,929 11 457,5- 462,5 460 7 123 0,056 0,984 12 462,5- 467,5 465 2 125 0,016 1,000 Determine: Todas las medidas de localización, escala, simetria y forma ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO