Unidad 3: Sistemas de Numeración

Í ndice Definición y Principios. Sistema de numeración decimal. Sistema de numeración binario. Conversión de un número del sistema decimal al binario, y viceversa. Sistema de numeración octal. Conversión de números binarios a octales, y viceversa. Sistema de numeración hexadecimal. Conversión de números binarios a hexadecimales, y viceversa. Aplicaciones

OBJETIVOS  Identificar entre un número decimal, binario, octal y hexadecimal  Representar un número en binario.  Convertir de decimal a binario y viceversa.  Convertir a hexadecimal y octal.  Realizar cambios de base tanto de la parte entera como de la parte fraccionaria en ambos sentidos

Sistemas de Numeración DECIMAL Binario OCTAL HEXADECIMAL

Sistemas de Numeración Esta unidad se basa en cómo representar la información de acuerdo con los sistemas: DecimalBinario Octal Hexadecimal

Definición y Principios Un Sistema de numeración es un conjunto de reglas y principios (orden, base y posicional), que se emplean para representar correctamente los números. La principal regla es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.

Definición y Principios Los sistemas de numeración se caracterizan por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente)  Decimal (10 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  Binario (2 dígitos)=0,1  Octal (8 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7  Hexadecimal (16 dígitos)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Definición y Principios Entre estos principios tenemos: 1. Orden 2. Base 3. Posicional

Principio de Orden Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda er Orden 2do Orden 3er Orden No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha

Principio De La Base Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar. Ej.: En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos: 2 3 (6) = 15 GruposBase Unidades que sobran

Principio De La Base Ej.: En el Sistema Quinario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 5 en 5, veamos: 4 0 (5) = 20 GruposBase Unidades que sobran

¿ Cómo representar un número en otra base? Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de: “Divisiones Sucesivas” Ej.: Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 ) =465 (7)

La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, como por ejemplo:

Principio Posicional En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo: Unidades  7*1 Decenas  5*10 Centenas  4*100 La suma de los valores posiciónales, da como resultado el número.

Fórmula General Los sistemas numéricos que utilizan la notación posicional se pueden describir con la siguiente formula:

Ejemplos En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo: N= 3(10)^2 + 8(10)^1 + 5(10)^0 N= 3(100) + 8(10) + 5 N= N= (10)

Sistema de Numeración Decimal

Es el más utilizado y está aceptado universalmente, se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.

Sistema de Numeración Decimal En el caso de números con decimales, algunos exponentes de las potencias serán negativos (los de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal). El número 5,97 se calcularía como: 5 unidades + 9 décimas + 7 centésimas  5 x x x 10 -2

Sistema de Numeración Binario

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos (0 y 1). Así, el número binario 10011,11 tendría un valor:  1(2 4 ) + 0(2 3 ) + 0(2 2 ) + 1(2 1 ) + 1(2 0 ) + 1(2 -1 ) + 1(2 -2 )=  ,5+0,25 =19,75 Es el que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Sistema de Numeración Binario Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT (Contracción de Binary Digit), que es la unidad más pequeña que puede manejar un computador. Con la combinación de OCHO BITS (ej: ) se forma un byte.

Sistema de Numeración Binario

Sistema de Numeración Octal Utiliza ocho dígitos o símbolos (0-7), correspondiendo el mayor al número 7, es decir, uno menor que el valor de la base (8). Los números octales sirven para representar ciertos números binarios de forma abreviada.

Sistema de Numeración Hexadecimal es el conjunto de elementos formado por los números del 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E y F, siendo este último el de mayor valor(representando el 15 decimal) y el de menor valor el 0 Para sistemas que necesiten más combinaciones se ha ideado el sistema de numeración hexadecimal, o lo que es lo mismo, en base 16. El sistema de numeración es una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple

C.O. Conversiones y Operaciones Entre Sistemas de Numeración

OBJETIVOS  Representar un número en binario  Convertir de decimal a binario y viceversa  Convertir a hexadecimal y octal  Realizar cambios de base tanto de la parte entera como de la parte fraccionaria en ambos sentidos  Realizar operaciones aritméticas de base 2, 8, 10 y 16.

Conversión de números decimales a binarios, y viceversa Para convertir un número expresado en sistema decimal al binario realizamos divisiones por 2 y colocamos los restos obtenidos y el último cociente Así, 75 (10 = (2

Conversión de números decimales a binarios, y viceversa Para convertir un número expresado en sistema binario a decimal, basta con desarrollar el número.

Conversión de números decimales a octal, y viceversa

Conversión de números binarios a octales, y viceversa. Cada dígito de un número octal equivale a tres dígitos en el sistema binario; por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas equivale a “expandir” cada dígito octal a tres binarios o en “contraer” grupos de tres dígitos binarios a su correspondiente dígito octal.

Conversión de números binarios a Hexadecimal, y viceversa. Se realiza “expandiendo” cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios o “contrayendo” cada grupo de cuatro dígitos binarios a su correspondiente dígito hexadecimal. En el caso de no poder formar grupos de cuatro dígitos (o tres, como en el sistema octal), se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo.

Conversión Por Fórmula General

Multiplicar por la Base y Sumar MSD  Dígito más Significativo LSD  Dígito menos Significativo

Extración de Potencia Preferentemente para números con decimales. La aplicación de este método puede realizarse en tres pasos: Primero elaborar una tabla de potencias de la base ala cual se va a convertir el número decimal. Segundo restar sucesivamente al numero en base diez la potencia igual o próxima menor hasta que la diferencia sea igual a cero Tercer con las potencias utilizadas en la resta formar el numero.

Extracción de Potencia

Extración de Potencia

RESIDUO

M Ú LTIPLO

RES Ú MEN CONVERSIONES

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Llamado normalmente acarreo. El binario 1+1=10 (es 0 y me llevo el 1), igual que decimal 6+6=12 (es 2 y llevo 1)

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS

Para desarrollar apropiadamente la operación de resta se hace uso de la operación de complemento a uno o de complemento a dos. En el primer caso se denomina complemento a la base menos uno y en el segundo complemento a la base.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Complemento a uno: Sencillamente se hace el complemento dígito a dígito. Complemento a dos: Se hace el complemento a uno y se le suma un uno al dígito menos significativo. Este complemento solo se emplea en los números negativos. Para los números positivos el complemento a dos es el mismo número

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Si el número da con un acarreo este se desecha y el número se asume positivo. De lo contrario, es decir, sí da sin acarreo el número es negativo:

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Como hay acarreo este se suprime y se asume que el resultado es positivo  (1011) 2

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Como hay acarreo este se suprime y se asume que el resultado es positivo  (1001,101) 2

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Como no hay acarreo, por lo tanto el número es negativo, por lo tanto sacamos el complemento a 2. ( ) 2  -(001011) 2 Como no hay acarreo, por lo tanto el número es negativo, por lo tanto sacamos el complemento a 2. ( ) 2  -(001011) 2

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS Como no hay acarreo, el número es negativo y le sacamos el complemento a 2. (1001, ,001) 2  -(1001,101) 2

OPERACIONES ARITMÉTICAS – BINARIOS

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL Antes de empezar a desarrollar los ejemplos correspondientes se presenta una tabla de suma octal básica para hacer las primeras sumas.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL

La técnica es la misma explicada en la resta binaria o base dos. Se consigue el complemento a la base, en este caso el complemento a ocho. Para hacerlo primero se consigue el complemento a la base menos uno, es decir, el complemento a siete. Este consiste en buscar digito a digito el complemento a siete(lo que le hace falta al número para llegar a siete. Al complemento a la base se le suma uno en su última unidad y se obtiene el complemento a ocho.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL La resta se realiza sacando el complemento a ocho del sustraendo y sumando tal resultado al minuendo, los criterios para asumir el signo del número son los mismos que en la resta binaria. Si hay acarreo el número es positivo y se desecha tal ACARREO; de lo contrario es negativo. Si se quiere saber el valor de tal número negativo se debe obtener el complemento a la base del número y ese será el resultado con signo negativo.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL

Como No hay acarreo, luego el número es un complemento a la base de un número negativo, para hallar su valor se saca el complemento a la base (4327) 8 - (6714) 8 = -(1265) 8

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL Como no hay acarreo, se suprime y por lo tanto el resultado es (200,62) 8

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL Como no hay acarreo, se suprime y por lo tanto el resultado es (77,12) 8.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL Como No hay acarreo, luego el número es un complemento a la base de un número negativo, para hallar su valor se saca el complemento a la base (243,3) 8 - (444,32) 8 = -(201,02) 8

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL Tomar en cuenta para la multiplicación

OPERACIONES ARITMÉTICAS – OCTAL

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL Antes de empezar Tener en cuenta lo siguiente:

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL

Para obtener el complemento a la base o complemento a 16, se obtiene primero el complemento a 15 y se suma al último dígito un 1. Cuando hay acarreo el número es positivo, cuando no, el número es negativo y se le debe encontrara su valor estableciendo el complemento a dos.

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL Como hay acarreo se desecha, por ende, el resultado es positivo

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL Como no hay acarreo se obtiene el número negativo sacando el complemento a la base(a 16) (ACC,16) 16 -(CEE,15) 16 = (221, FF) 16

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL Como no hay acarreo se obtiene el número negativo sacando el complemento a la base(a 16) (125,AB) 16 -(AC9,DE) 16 = (9A4, 33) 16

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL Tener en cuenta lo siguiente:

OPERACIONES ARITMÉTICAS – HEXADECIMAL

Preguntas?

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