Espacio afín 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Coordenadas en el espacio Vector de posición de P P’ Origen de coordenadas (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Ejes coordenados. Planos coordenados Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

Coordenadas de un vector libre cualquiera

Coordenadas del punto medio de un segmento ® m = a + AM ® a + 1 2 AB = = ® a + 1 2 ( b – ) = 1 2 ( ® a + b )

Elementos geométricos Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies. Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros. Rectas y curvas (dimensión 1) Dimensión Planos y superficies (dimensión 2)

Rectas en el espacio: ecuación vectorial x

Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas · La recta que pasa por P de vector director ® v (v 1 , v 2 3 ) se puede poner así: (x, y, z)= ( x o , y , z ) + t (v ) Al igualar las coordenadas queda: (x, y, z) = ( x0+tv1, y0+tv2, z0+tv3) por lo que

Rectas en el espacio: ecuación en forma continua Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director =(v1,v2,v3) son: Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

Rectas en el espacio: ecuación implícita Las ecuaciones en forma cont ínua de la recta r que pasa por P(x o , y , z ) y que tiene por vector director ® v (v 1 , v 2 3 ) son De aquí obtenemos tres ecuaciones: Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la segunda por ejemplo, y operando obtenemos: Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :

Ecuaciones de los ejes coordenados

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A,  ) o por(B, ) (b1, b2, b3) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 ) (a1, a2, a3)

Planos: ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano .  X está en a si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w  Por tanto x – a = s v + t w  Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s R y t R  Se observa además que X a  rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0 

Planos: ecuaciones paramétricas y general Como el rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0 la ecuación general del plano a se obtiene a partir del determinante  x – x1 y y1 z z1 a b c a’ b’ c’ = 0 y operando queda Ax + By + Cz + D = 0

Vector normal a un plano Como A (x1,y1,z1) p y B (x2,y2,z2) p tenemos que: ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0 Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0 (a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0

Planos: ecuación normal Sea M un punto cualquiera del plano a, y sea (A, B, C) un vector normal al plano. Un punto X(x, y, z) está en el plano si y sólo si ® n es perpendicular a MX . Por tanto: · = 0 Û · ( x – m ) = 0 que es la ecuación normal del plano. Desarrollando la expresión anterior obtenemos: (A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0 A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0 o bien A x + B y + C z + D = 0 donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.

Planos: ecuaciones de los planos coordenados

Ecuación del plano que pasa por tres puntos Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.  La determinación lineal de dicho plano será: (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X (x, y, z) Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Posiciones relativas: recta y plano Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0 y la recta r Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Posiciones relativas: dos planos Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p’: a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema compatible indeterminado con 2 g.l. Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

Posiciones relativas: tres planos (I) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2a 2b Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos Triedro Prisma Los tres planos tienen un punto en común Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema compatible determinado Sistema incompatible Todos los menores de orden 2 son no nulos Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Posiciones relativas: tres planos (II) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3a 3b 4 Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos Tres planos coincidentes Tres planos distintos Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema comp. ind. Sistema comp. Ind. Todos los menores de orden dos son nulos Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

Posiciones relativas: tres planos (III) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 5a 5b Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos Tres planos paralelos Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible Todos los menores de orden 2 de A son nulos Sistema incompatible Hay dos planos con ecuaciones de coeficientes proporcionales rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2

Posiciones relativas: dos rectas (I) Sea la recta r Sea la recta s Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 Rectas coincidentes Rectas paralelas Las rectas tienen todos sus puntos comunes Las rectas no tienen puntos en común Sistema compatible indeterminado con 1 g.l. Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Posiciones relativas: dos rectas (II) Sea la recta r Sea la recta s Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3 4 Rectas secantes Rectas que se cruzan Las rectas no tienen puntos en común Las dos rectas tienen un punto en común Sistema incompatible Todos los menores de orden 3 son no nulos Sistema compatible determinado rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 3; rango(B) = 4

Haz de planos paralelos Haces de planos 1 2 Haz de planos paralelos Haz de planos secantes Dados ≡Ax+By+Cz+D=0  ≡ Ax+By+Cz+D  =0 cualquier combinación lineal de ellos Pertenece al haz Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 todos los planos paralelos tienen el mismo vector normal por eso los coeficientes de x, y, z, son todos proporcionales Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0 Para que el haz quede completo hay que añadir el 2ºplano :A’x+B’y+C’z+D’ = 0 Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+=0 con  є R.

Posiciones de dos planos dados por sus determinaciones normales     Condición Posición Los vectores normales no son paralelos Planos secantes 1 Rango 2 Los vectores normales son paralelos y A no está en π’: Aπ’ ó 2 Rango 1 Planos paralelos Los vectores normales son paralelos y A está en π’: Aπ’ ó Planos coincidentes Rango 1 3

Posiciones de recta y plano dados por sus determinaciones lineal y normal   Condición Posición Los vectores no son ortogonales 1 La recta y el plano son secantes Los vectores son ortogonales y A no está en π: Aπ es decir La recta y el plano son paralelos y Aπ 2 Los vectores normales son paralelos y A está en π: Aπ es decir 3 La recta está conte- nida en el plano y Aπ

Posiciones de dos rectas dados por sus determinaciones lineales     Posición 1 Rango 2 Rango 3 Se cruzan 2 Rango 2 Rango 2 Rectas secantes 3 Rectas paralelas Rango 1 Rango 2 Rango 1 Rango 1 4 Rectas coincidentes