Sucesiones

Sucesiones alternadas Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Sucesiones crecientes Se dice que una sucesión 𝒂 𝒏 es creciente si todo elemento de la sucesión es menor o igual que los términos siguientes, es decir, si: 𝒂 𝒏 ≤ 𝒂 𝒏+𝟏 ∀ 𝒏 ∈ ℕ también se puede expresar como 𝒂 𝒏+𝟏 − 𝒂 𝒏 ≥ 𝟎 Se dice que una sucesión 𝒂 𝒏 es estrictamente creciente si todo elemento de la sucesión es menor que los términos siguientes, es decir, si: 𝒂 𝒏 < 𝒂 𝒏+𝟏 ∀ 𝒏 ∈ ℕ o 𝒂 𝒏+𝟏 − 𝒂 𝒏 > 𝟎

Ejemplo de sucesión estrictamente creciente Podemos observar que el término siguiente siempre es mayor que el anterior Ejemplo de sucesión creciente Podemos observar que el término siguiente siempre es mayor o igual que el anterior

Sucesiones decrecientes Se dice que una sucesión 𝒂 𝒏 es decreciente si todo elemento de la sucesión es mayor o igual que los términos siguientes, es decir, si: 𝒂 𝒏 ≥ 𝒂 𝒏+𝟏 ∀ 𝒏 ∈ ℕ Se dice que una sucesión 𝒂 𝒏 es estrictamente decreciente si todo elemento de la sucesión es mayor que los términos siguientes, es decir, si: 𝒂 𝒏 > 𝒂 𝒏+𝟏 ∀ 𝒏 ∈ ℕ

Ejemplo de sucesión estrictamente decreciente Podemos observar que el término siguiente siempre es menor que el anterior

Sucesiones monótonas Una sucesión 𝒂 𝒏 es monótona si es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente.

También existen sucesiones que no son constantes, ni crecientes, ni decrecientes, como por ejemplo: tres términos consecutivos son:

Sucesión oscilante Una sucesión es oscilante si, y O y

Sucesión acotada superiormente

Intuitivamente, una cota superior Q deja todos los términos de la sucesión a la izquierda de Q en la recta real. A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Sucesión acotada inferiormente A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo . Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Sucesión acotada Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número Q menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro P mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre Q y P. Esto equivale a afirmar que existen dos números reales P y Q que satisfacen la doble desigualdad

Ejercicio Indique si las siguientes sucesiones son acotadas(si lo son indique las cotas), alternadas, crecientes, decrecientes u oscilantes.

Límite de una sucesión

Límite de una sucesión Para ilustrar este concepto consideremos la sucesión algunos de sus términos en forma decimal son:

Podemos observar que cuanto más grande es el valor de “n”, cada elemento de la sucesión es más pequeño. Además de que la diferencia entre uno y otro término es mínima, por lo que se puede decir que cuando “n” es más grande los elementos de la sucesión tienden a un valor.

Gráficamente esta sucesión se ve así

Si graficamos en una recta real los términos de la sucesión, tenemos

Dado que cuando n es más grande los términos de la sucesión se aproximan más al valor cero, se dice que cero es el límite de esta sucesión. Lo que se puede denotar como lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =0

Definición

Ejemplo: Si la sucesión 𝑎 𝑛 tiene por límite cero, esto implica que Y podemos determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a cero es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Por ejemplo si Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.1

Si queremos determinar a partir de que término la distancia a cero es menor que 0.001. A partir del a1001 se cumplirá que su distancia 0 es menor que 0.001.

Definición El límite de una sucesión también se puede definir mediante entornos.

Lo que quiere decir:

Límite de una sucesión Para calcular el límite de una sucesión de forma analítica se debe tener en cuenta la teoría de límites vista en Cálculo Diferencial. (Recordar los límites en el infinito) Si un límite da indeterminado hay que transformarlo, dependiendo de cada tipo de función, para quitar la indeterminación.

Límite de una sucesión

Límites comunes en sucesiones

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites

Algunos límites importantes

Tipos de indeterminaciones

Procedimiento para calcular el límite de una sucesión de forma analítica Lo primero que hacemos es sustituir la “n” por el valor al  que tiende (∞) o aplicar las propiedades anteriores y estaría resuelto salvo que de indeterminado.

Si al hacer la sustitución obtenemos una indeterminación, habrá varias posibilidades para quitarla: 0 0 ó ∞ ∞ Si son cocientes de polinomios se puede dividir entre el de máximo grado el numerador y el denominador. Si son cocientes de radicales divido entre el máximo grado pero tomando en cuenta el exponente que queda al efectuar la radicación.

2. - ∞ 0 Se opera la expresión para obtener un cociente de polinomios 2.- ∞ 0 Se opera la expresión para obtener un cociente de polinomios. 3.- ∞ − ∞ Se opera con las fraccciones, se dividie entre el máximo grado o se racionaliza.

Límite de una sucesión

Ejemplo Obtenga los límites, si existen, de las siguientes sucesiones:

Ejemplo