MATEMÁTICA FINANCIERA

Los ejercicios de esta presentación son tomados de: RAMÍREZ MOLINARES, C., GARCIA BARBOSA, M., PANTOJA ALGARIN, C., ZAMBRANO MEZA, A. Fundamentos de Matemáticas Financieras. Universidad Libre de Cartagena, Colombia. 2009. Recuperado de http://www.uv.mx/personal/cbustamante/files/2011/06/MATEMATICAS_FINANCIERAS.pdf

ANUALIDADES Docente Mag. Carlos Alberto Muñoz Gutiérrez

Tiempo ANUALIDADES Fórmulas Períodos de Cap. o pagos Tiempo ANUALIDAD Momento en que se realiza el pago de la renta Período en que se realiza el primer pago ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

ANUALIDADES EVENTUALES o CONTINGENTES ANUALIDADES CIERTAS Si se conocen las fechas de inicio y terminación de la anualidad. TIEMPO ANUALIDADES ANUALIDADES EVENTUALES o CONTINGENTES Si una de las dos fechas de inicio o terminación se desconocen. Matemática Financiera

Períodos de Capitalización o pagos ANUALIDADES SIMPLES Si el periodo de capitalización y el de pago son iguales. Períodos de Capitalización o pagos ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES Si los periodos de pago y de capitalización son diferentes. Matemática Financiera

Momento en que se realiza el pago de la renta ANUALIDAD ORDINARIA Si el pago de la renta se realiza al final de cada periodo. Se le llama también ANUALIDAD VENCIDA. Momento en que se realiza el pago de la renta ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES: ANUALIDAD ANTICIPADA Se llama así porque los pagos se realizan al principio de cada periodo. Matemática Financiera

Período en que se realiza el primer pago ANUALIDAD INMEDIATA Si el primer pago de la renta se realiza en el primer periodo. Período en que se realiza el primer pago ANUALIDADES ANUALIDADES GENERALES: ANUALIDAD DIFERIDA: Si el primer pago de la renta se realiza varios periodos después del inicio. Matemática Financiera

ANUALIDADES Matemática Financiera

Fórmulas ANUALIDADES Presente/Futuro Anualidad Tiempo Presente Dar Click sobre cada formula para ver ejemplo Presente/Futuro Anualidad Tiempo 𝑨=𝑷 𝒊 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 𝒏= −𝒍𝒐𝒈 𝟏− 𝑷𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) 𝑷=𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 𝒊 Presente Vencidas 𝑨=𝑭 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒏= 𝒍𝒐𝒈 𝟏+ 𝑭𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 Futuro ANUALIDADES 𝑨= 𝑷 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏= −𝒍𝒐𝒈 𝟏− 𝑷𝒊 𝑨(𝟏+𝒊) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) 𝑷=𝑨 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas 𝑨= 𝑭 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏= 𝒍𝒐𝒈 𝟏+ 𝑭𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 (𝟏+𝒊) Futuro Matemática Financiera

Ejemplo 1 ANUALIDADES Fórmulas Presente Vencidas Una persona adquiere a crédito un electrodoméstico que cancelará en 12 pagos mensuales iguales de $ 300.000, a una tasa de 2% mensual. Encontrar el valor de contado del electrodoméstico. 𝑷=𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 𝒊 Presente Vencidas ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 ANUALIDADES Fórmulas Presente Vencidas Una persona adquiere un vehículo a crédito con una cuota inicial de $ 5.000.000 y 24 cuotas mensuales iguales de $ 580.000. El concesionario le cobra un 2,3% mensual sobre saldo. Encontrar el valor del vehículo. 𝑷=𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 𝒊 Presente Vencidas ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo 1 ANUALIDADES Fórmulas Vencidas Futuro Se hacen depósitos mensuales de $ 150.000 en una institución financiera que paga el un interés del 2,6% mensual. ¿Qué suma se tendrá acumulada al final de dos años? Vencidas 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 Futuro ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 ANUALIDADES Fórmulas Vencidas Futuro Una persona deposita hoy en una institución financiera la suma de $ 820.000 que le paga una tasa de interés del 3% mensual. Calcular el valor acumulado al final de año, si cada mes deposita $ 300.000? Vencidas 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 Futuro ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo 1 ANUALIDADES Fórmulas Anualidad Presente Vencidas Un apartamento se adquiere a crédito por la suma de $ 60.000.000 en cuota mensuales iguales, la obligación se pacta a 15 años a una tasa de interés del 3% mensual. Determinar el valor de las cuotas. Anualidad 𝑨=𝑷 𝒊 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 Presente Vencidas ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 ANUALIDADES Fórmulas Anualidad Presente Vencidas Un empresa desea construir una fábrica, por lo cual adquiere un terreno por la suma de $ 30.000.000 dando una cuota inicial del 15% y 24 cuota mensuales con una tasa de interés del 2.5%. Calcular el valor de las cuotas. Anualidad 𝑨=𝑷 𝒊 𝟏−(𝟏+𝒊) −𝒏 Presente Vencidas ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo 1 ANUALIDADES Fórmulas Anualidad Vencidas Futuro Una empresa necesitará reponer una máquina dentro de 6 años, la cual, en ese momento tendrá un valor de mercado de $ 1.800.000. De acuerdo a estudios de mercado realizados, se espera que la máquina cueste alrededor de $ 9,500.000 y se decide hacer un fondo para cubrir el costo. Si se puede obtener una tasa de interés del 30% ACS, ¿Cuánto se tiene que depositar cada semestre para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil? Anualidad Vencidas 𝑨=𝑭 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 Futuro ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 ANUALIDADES Fórmulas Anualidad Vencidas Futuro El gerente de un hospital desea invertir en una institución financiera para comprar un equipo de Rx en un término de dos años. Para esto debe destinar cierta cantidad cada bimestre hasta completar la cantidad $ 100.000.000. Si la institución financiera reconoce un 24% AC Bimestralmente, determínese el valor del depósito bimestral. Anualidad Vencidas 𝑨=𝑭 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 Futuro ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo ANUALIDADES Fórmulas Tiempo Presente Vencidas Una deuda de $ 20.000.000 se debe cancelar con cuotas mensuales iguales de $1.500.000 cada una. Si la tasa de interés es del 2% mensual. Determine el número de cuotas para cancelar la obligación financiera: El diagrama económico será el siguiente: Tiempo 𝒏= −𝒍𝒐𝒈 𝟏− 𝑷𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) Presente Vencidas ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo ANUALIDADES Fórmulas Tiempo Vencidas Futuro Se desea tener un monto de $ 17.450.260 mediante depósitos cada dos meses vencidos de $ 430.230. Calcular cuántos depósitos se deben hacer si se ganan intereses del 18% Capitalizable cada bimestre. Tiempo Vencidas 𝒏= 𝒍𝒐𝒈 𝟏+ 𝑭𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) Futuro ANUALIDADES Fórmulas Matemática Financiera

Ejemplo 1 Fórmulas ANUALIDADES Presente Anticipadas Supóngase el caso de un contrato de arrendamiento por un año, en el que los pagos del canon son mensuales por un valor de $700.000, si las partes del contrato acuerdan que se realice un solo pago al principio del contrato y la tasa estipulada es del 3% mensual, de cuanto sería el valor de ese pago único. Fórmulas ANUALIDADES 𝑷=𝑨 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 Fórmulas ANUALIDADES Presente Anticipadas Se ha pactado una obligación para cancelar en 24 cuotas iguales de $ 125.000 cada una por mes anticipado, si se decide cancelarla de contado a un interés del 2,5% mensual, cuál es el valor. Fórmulas ANUALIDADES 𝑷=𝑨 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas Matemática Financiera

Ejemplo 2 Fórmulas ANUALIDADES Presente Anticipadas Se ha pactado una obligación para cancelar en 24 cuotas iguales de $ 125.000 cada una por mes anticipado, si se decide cancelarla de contado a un interés del 2,5% mensual, cuál es el valor. Fórmulas ANUALIDADES 𝑷=𝑨 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas Matemática Financiera

Ejemplo 1 Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas Futuro Una persona recibe por concepto de arriendo (mes anticipado), la suma de $1.000.000 mensuales, y deposita el 30% en una cuenta de ahorros en una institución financiera, que le reconoce el 2% de interés mensual. El depósito lo realiza un vez recibe el valor de la renta. Si el in mueble estuvo arrendado por un año, ¿Cuanto tendrá acumulado en la cuenta al final de los 12 meses? Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 (𝟏+𝒊) Futuro Matemática Financiera Ver Ejemplo 2

Ejemplo 2 Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas Futuro Una persona deposita $ 800.000, al principio de cada mes, en un fondo que reconoce el 2% mensual. Después de 2,5 años no hizo más depósito, pero dejó el dinero acumulado hasta ese momento, 1,5 año más a la misma tasa de interés. Calcular el valor acumulado. Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas 𝑭=𝑨 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 (𝟏+𝒊) Futuro Matemática Financiera

Ejemplo Fórmulas ANUALIDADES Anualidad Presente Anticipadas Se recibe un préstamo de $ 15.000.000 para cancelarlo en 15 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada, si la tasa de interés es del 3,5% mensual, hallar el valor de las cuotas. Anualidad Fórmulas ANUALIDADES 𝑨= 𝑷 𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏 𝒊 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas Matemática Financiera

Ejemplo Fórmulas ANUALIDADES Anualidad Anticipadas Futuro Una persona recibe por concepto de arriendo (mes anticipado), la suma de $1.000.000 mensuales, y deposita el 30% en una cuenta de ahorros en una institución financiera, que le reconoce el 2% de interés mensual. El depósito lo realiza un vez recibe el valor de la renta. Si el in mueble estuvo arrendado por un año, ¿Cuanto tendrá acumulado en la cuenta al final de los 12 meses? Anualidad Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas 𝑨= 𝑭 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 (𝟏+𝒊) Futuro Matemática Financiera

𝒏= −𝒍𝒐𝒈 𝟏− 𝑷𝒊 𝑨(𝟏+𝒊) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) Ejemplo Una obligación de $ 5.000.000 se va a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de 580.185,46. Si la tasa de interés es del 2,8% mensual, calcular el número de pagos que garanticen el pago de la obligación. Tiempo Fórmulas ANUALIDADES 𝒏= −𝒍𝒐𝒈 𝟏− 𝑷𝒊 𝑨(𝟏+𝒊) 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) Presente Anticipadas Matemática Financiera

Ejemplo Fórmulas ANUALIDADES Tiempo Anticipadas Futuro Un empleado consigna $ 400.000 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 28%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000.000? Tiempo Fórmulas ANUALIDADES Anticipadas 𝒏= 𝒍𝒐𝒈 𝟏+ 𝑭𝒊 𝑨 𝒍𝒐𝒈 (𝟏+𝒊) Futuro Matemática Financiera

ANUALIDAD ANUALIDADES Se refiere a un conjunto de pagos, depósitos o retiros por la misma cantidad realizados a intervalos iguales de tiempo. EJEMPLOS: Sueldos Pagos de pensiones Intereses de inversiones Alquileres de edificios Pagos en abonos Primas de seguros. ANUALIDADES Matemática Financiera