MODELAMIENTO, MODELIZACION Y SIMULACION Alfonso Romero B. Romero.planning@gmail.com

MODELAMIENTO

Modelamiento geológico

Presentar en forma gráfica los puntos tomados en terreno, mediante softwares del tipo CAD u otros relacionados, como por ejemplo Vulcan, Datamine y Surpac entre otros para el caso minero.

Generación de la triangulación en forma automática, previa a la generación de curvas de nivel. Cada uno de los vértice del triángulo tiene coordenadas X, Y, Z.

Representación gráfica (3D) de la triangulación con curvas de nivel indicadas (Datamine Chile)

Vista de planta de la sección con representación de curvas de nivel.

Modelamiento geologico

El software permite convertir los complejos datos en información visual que se reflejan en la creación de imágenes interactivas y dinámicas en 3D, facilitando su comprensión y entendimiento. Además, puede desarrollar completos estudios de factibilidad y de impacto ambiental.

Modelo geológico en Vulcan

MODELIZACION

MODELO GEOLOGICO El modelamiento Geológico: Consiste en la construcción de sólidos tridimensionales en base al diseño de secciones horizontales del cuerpo o yacimiento. Los dato que se utilizan para los modelos geológicos se toma a partir de los logueos de los taladros diamantinos hechos en el cuerpo mineralizado, a partir de ellos se digitalizó en un archivo Excel los datos preparados para la importación de las tablas “Header”, “Assays” y “Survey” requeridas por el software minero; en una segunda etapa los muestreos por canales también fueron incorporados a la base de datos como un nuevo “workspace” tipo “Point”.

MODELO GEOMECANICO 4. MODELO GEOMECÁNICO: Con datos información de campo, el modelo geomecánico consistente en el mapeo geotécnico de la roca expuesta en las labores mineras subterráneas existentes y en el mapeo geotécnico de los testigos rocosos de las perforaciones diamantinas efectuadas como parte del programa de exploración del yacimiento. Estos mapeos deben ser complementados con otros trabajos de investigación de campo, como los ensayos para la determinación de las propiedades de resistencia de las rocas involucradas con el área de evaluación, y la revisión de la información geológica estructural desarrollada por el personal del proyecto. Los datos procesados del mapeo geotécnico de testigos rocosos, expresados en calidades de roca, pueden ser ingresados a un Software, obteniéndose una zonificación geomecánica tridimensional del yacimiento, lo que a su vez constituye uno de los factores importantes para definir el método de minado.

MODELO NUMERICO El modelamiento numérico: Es una herramienta útil en el desarrollo de proyectos de ingeniería minera, donde es común considerar además la hidrogeología y evaluación de recursos mineros. Hasta los años sesenta para dichos estudios, principalmente se utilizaban modelos físicos a escala. Actualmente, en los laboratorios de Europa y USA, más del 50% de sus trabajos se relacionan con modelos numéricos. Entre los campos de aplicación más difundidos se tiene: o      Control de sistemas geomecánicos o      Cálculos de reservas de minerales o      Simulación de esfuerzos del macizo rocoso o      Hidrogeología y aguas subterráneas

MODELO HIDROGEOLOGICO Modelo Conceptual: Esta fundamentado en el perfil litológico y la presencia de un acuífero que puede ser libre o confinado, además el macizo rocoso puede ser de tipo isotrópico o anisotropico que con las ecuaciones de LaPlace se puede cuantificar el flujo del agua a través de la estructura de la macizo rocoso. Entre los campos de aplicación más difundidos se tiene: o      Control de sistemas de aguas subterráneas o      Cálculos de balance hídrico superficial y subterráneo o      Simulación de desplazamiento de contaminantes o      Ideología, y ciclo del agua o      Balance hídrico de la cuenca

DESARROLLO DE MODELOS El punto inicial en la construcción de un modelo numérico es la esquematización del proceso físico en estudio. La esquematización seleccionada depende de la complejidad de los procesos envueltos, de los modelos numéricos disponibles, de sus prestaciones y del valor de las respuestas dadas. En la esquematización se deberá dar atención a los siguientes puntos: o Variaciones temporales o Variación de densidades o Uniformidad de los procesos en la sección transversal El próximo paso es la derivación de las ecuaciones. Las ecuaciones generalmente se derivan mediante los balances de masa, contenido metálico, flujo de agua, etc. Estos análisis producen, generalmente, una o más ecuaciones diferenciales parciales.

La solución de dichas ecuaciones, en aplicaciones de ingeniería, frecuentemente se realiza mediante el método de diferencias finitas. En cambio, en ingeniería minera es costumbre aplicar el método de elementos finitos, que es más apropiado para la discretización de problemas estacionarios en espacios irregulares; sin embargo, este método se vuelve bastante costoso en tiempo de cómputo para la solución de problemas no estacionarios. Una vez que el método de solución ha sido seleccionado, se tiene que construir un programa de computador. En dicho programa se instruye al computador a ejecutar todos los pasos del método de solución en la secuencia correcta y a realizar entrada y salida de datos. No siempre es necesario construir estos programas, ya que para muchos problemas existen sistemas o modelos que pueden ser adquiridos de empresas especializadas. Estos modelos han sido construidos para manejar un rango de procesos que pueden manejarse con las mismas o casi las mismas ecuaciones.

Interaction de los Modelos La siguiente Ecuación Diferencial Parcial lineal de segundo orden: donde =(x, y) es la función o variable dependiente y x, y son las variables independientes, en algún punto particular (x,y) = (a,b) del dominio  será clasificado como: ELIPTICA, si (B2-4AC)<0, (No existe dirección característica en (a,b)); PARABOLICA, si (B2-4AC)=0, (Existe 1 dirección característica en (a,b)); HIPERBOLICA, si (B2-4AC)>0, (Existen 2 direcciones caracter. en (a,b));

La grilla de cálculo puede ser uniforme en el espacio (a lo largo de la abcisa x ) en cuyo caso hay N-1 intervalos de espacio Δx iguales. Si la grilla no es uniforme, los intervalos de espacio Δxj = xj - xj-1 son de longitud variable. Una grilla de cálculo no uniforme es conveniente cuando se desea refinar la representación del fenómeno de interés en ciertas partes del dominio.

DIFERENCIAS FINITAS El reemplazo de la expresión diferencial por su análoga diferencia finita es una aproximación cuyo grado es llamado frecuentemente "error de truncamiento" u "orden de aproximación". Las aproximaciones pueden ser desarrolladas de la siguiente manera; si, en el plano x-t una serie de Taylor para un punto arbitrario u(x+Δx,t) es desarrollado alrededor de u(x,t), la aproximación para δu/δx puede ser desarrollada así:   donde O(│Δx│n) se lee "término del orden de Δx a la enésima potencia"; esta es la notación para el error de truncamiento de esta aproximación. Despreciando todos los términos de orden más alto que uno y resolviendo para δu/δx, tenemos:

donde la notación usada en la ecuación es típica para las aproximaciones de δu/δx en el espacio y tiempo para resolver problemas en una grilla de cálculo en el plano x-t. Los puntos en la grilla son localizados multiplicando el espaciamiento de la grilla, Δx o Δt, por el correspondiente término i o n. La ecuación anterior es una diferencia unidimensional hacia adelante o adelantada en el espacio. El mismo procedimiento puede ser repetido para determinar una aproximación de diferencia hacia atrás o atrasada en el espacio.

Si las aproximaciones de diferencias hacia adelante y hacia atrás son escritas incluyendo un término de segundo orden y luego se restan una de otra, se obtiene una diferencia central en el espacio con un error de truncamiento de segundo orden: Si se tiene un problema estacionario pero con dos dimensiones espaciales x e y, las diferencias finitas deberán ser expresadas con alguna variación. 1. Aproximación de diferencia finita adelantada para /x : 2. Aproximación de diferencia finita atrasada para /x :

3. Aproximación de diferencia finita central para /x :

ESQUEMA EXPLICITO LEAP-FROG ESQUEMA EXPLICITO LAX ESQUEMA EXPLICITO LEAP-FROG

ESQUEMA IMPLICITO ABBOTT-IONESCU

ESQUEMA IMPLICITO PREISSMANN

ALGORITMO DE INTERPOLACION DE STIRLING PRIMERA DERIVADA SEGUNDA DERIVADA

EJEMPLO. CONSIDEREMOS LA ECUACIÓN: LA SOLUCION SE HACE EN BASE A :

ALGORITMO DE EULER CAUCHY ALGORITMO LEAPFROG

ALGORITMOS IMPLICITOS

ALGORITMO PREDICTOR CORRECTOR DE ADAMS

ALGORITMO PREDICTOR CORRECTOR DE ADAMS

ALGORITMO DE RUNGE-KUTTA

ALGORITMO DE RUNGE-KUTTA

SIMULACION

¿QUÉ ES UN SISTEMA? Un sistema puede definirse como una colección de objetos o entidades que interactúan entre sí para alcanzar un cierto objetivo. Los sistemas reciben datos, energía o materia del ambiente (entradas) y proveen información, energía o materia (salidas). Límite del sistema Parte del sistema Relación

Propiedades de los sistemas Sinergia: Con los componentes y su interrelación se consigue más que lo que en principio resultaría de la simple suma de los componentes. Entropía: Refleja el grado de desorden del sistema. Se puede reducir la entropía ingresando información al sistema. Equilibrio homeostático: Equilibrio dinámico que mantiene los valores dentro de un rango establecido.

Tipos de Sistemas en Simulación Sistema discreto: Se caracteriza porque las propiedades de interés (variables del estado de interés) del sistema cambian únicamente en un cierto instante o secuencia de instantes, y permanecen constantes el resto del tiempo. Sistema continuo: Se caracteriza porque las variables de estado cambian de forma continúa.

Modelo del sistema real Sistema actual (real) Modelo del sistema real Modelos físicos Modelos matemáticos Solución analítica Simulación Modelo La descripción de las características de interés de un sistema se conoce como modelo del sistema, y el proceso de abstracción para obtener esta descripción se conoce como modelado.

Formas de estudiar un sistema Modelo Físico continuo Modelo Analógico continuo S I T E M A M O D E L Tipos de Modelos Modelo de Simulación Tipos de Simulación discreto eventos Modelo Matemático Utilidad

Simulación La simulación se refiere al conjunto de métodos y aplicaciones que buscan imitar el comportamiento de sistemas reales, generalmente en un computadora con un software apropiado.

Tipos de Simulación Estático vs Dinámico: El tiempo no desempeña un papel natural en los modelos estáticos pero si en los dinámicos. Continuo vs Discreto: En un modelo continuo el estado del sistema puede cambiar continuamente en el tiempo, en un modelo discreto el cambio puede ocurrir sólo en tiempos separados del tiempo. Determinista vs Estocástico: Los modelos que no tienen entradas aleatorias son deterministas y los que tiene entradas aleatorias son estocásticos.

yj = fm(xi, lk) xi yj yj = fm(xi) xi yj Estocástico (*) Determinístico Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo no se puede determinar con los datos del momento actual. Método analítico: usa probabilidades para determinar la curva de distribución de frecuencias. Determinístico Si el estado de la variable en el siguiente instante de tiempo se puede determinar con los datos del estado actual. Método numérico: algún método de resolución analítica. yj = fm(xi, lk) (Existen variables internas –como lk– aleatorias) xi yj yj = fm(xi) xi yj

El estado del sistema cambia en tiempos discretos del tiempo e = f(nT) Método numérico: utiliza procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático. Continuo El estado de las variables cambia de forma continua a lo largo del tiempo. e = f (t) Método analítico: emplea razonamiento de matemáticas deductivas para definir y resolver el sistema.

Dinámico (*) Si el estado de las variables puede cambiar mientras se realiza algún cálculo f [ nT ] ≠ f [ n(T+1) ] Método numérico: usa procedimientos computacionales para resolver el modelo matemático. Estático Entre las variables no se encuentra la variable tiempo. Método analítico: algún método de resolución analítica.

Simulación del Sistema Sistema Actual Simulación del Sistema parámetros entrada(t) salida(t) =?? La simulación del sistema imita la operación del sistema actual sobre el tiempo. La historia artificial del sistema puede generarse, observarse y analizarse. La escala de tiempo puede alterarse según la necesidad. Las conclusiones acerca de las características del sistema actual se pueden inferir.

SISTEMA EN SIMULACIÓN Entidades: Son los objetos que fluyen a través del sistema, podrían ser: clientes, productos, cajas, camiones y pallets entre otros. Atributos: Son las diferentes características que definen a las entidades, por ejemplo tipo, edad, género, peso, volumen, tiempo de inicio de un proceso. Variables: Una variable es un fragmento de información que refleja alguna característica del sistema, independientemente de las entidades que se muevan por el modelo.

SISTEMA EN SIMULACIÓN Recursos: Las entidades compiten por ser servidas por recursos que representan cosas como personal, equipo, espacio en un almacén de tamaño limitado, etc. Colas: Cuando una entidad no puede continuar su movimiento a través del modelo, a menudo porque necesita un recurso que está ocupado, necesita un espacio donde esperar que le recurso quede libre, ésta es la función de las colas.

SISTEMA EN SIMULACIÓN Acumuladores de estadísticos: Para obtener las medidas de eficiencia finales, podría ser conveniente hacer un seguimiento de algunas variables intermedias en las que se calculan estadísticas, por ejemplo: el número total de piezas producidas, todos estos acumuladores deberían ser inicializados a 0. Eventos: Un evento es algo que sucede en un instante determinado de tiempo en la simulación, que podría hacer cambiar los atributos, variables, o acumuladores de estadísticas.

APRECIAMOS SU ATENCION

Referencias Kelton, David., Sadowski, Randall y Sturrock, David. Simulación Con Software Arena. 4 th. ed. México, Mc Graw Hill. 2008. pp 1-194. García D, Eduardo., García R, Heriberto. y Cárdenas B, Leopoldo. Simulación y análisis de sistemas con Promodel. México, Prentice Hall. 2088. Averill M, Law. Simulatión modeling and analysis. 4 th. ed. New York, USA, Mc Graw Hill. 2007. pp 1-84. Beaverstock Malcolm, Greenwood Allen G., Lavery Eamonn y Nordgren William (2012). Applied Simulation Modeling and Analysis using FlexSim, (3a ed.), Published by FlexSim Software Products, Inc. All rights reserved. Printed in Orem, UT 84097 USA.