U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 9.4 * 2º ESO RAZÓN DE SEMEJANZA π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

RAZÓN DE ÁREAS Y VOLÚMENES Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES Razón de los PERÍMETROS = Razón de semejanza. Razón de las ÁREAS = CUADRADO de la razón de semejanza. Razón de los VOLÚMENES = CUBO de la razón de semejanza. Escalas. ESCALA es la razón de semejanza entre el original y su representación. ESCALA 1: 200 Son muy empleadas en Mapas, planos y maquetas. Escala gráfica es una recta graduada según la escala numérica correspondiente. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Razón de las áreas Un triángulo es una figura, por lo que se aplica el criterio general de semejanza: Dos triángulos serán semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Además, si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de las áreas es r2 Áreas: 3.4 AABC = ------ = 6 2 6.8 AA’B’C’ = ----- = 24 AA’B’C’ 24 K = --------= ---- = 4 AABC 6 Vemos que k = r2 Pues 4 =22 C’=37º C=37º 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm B=53º A=90º 3 cm B’=53º A’=90º 6 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Razón de volúmenes Un CUBO es un cuerpo formado por seis cuadrados. Dos cubos siempre son semejantes, pues lo son los cuadrados que lo forman. Si dos cuerpos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de los volúmenes es r3 Volúmenes: r = 2/1 = 2 V1 = 1.1.1 = 1 V2 = 2.2.2 = 8 V2 8 K = ----- = --- = 8 V1 1 Vemos que k = r3 Pues 8 =23 a=1 cm a=2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2 Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r2 = 22 = 4 Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m3 Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r3 = 23 = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO 5 cm 5 cm Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO