3. COMPONENTES PRINCIPALES  Introducción  Componentes principales  Componentes principales muestrales  Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores 1

COMPONENTES PRINCIPALES Introducción 2  Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible.  Interpretación.  Paso previo al uso de otras técnicas.

Componentes principales Consiste en construir combinaciones lineales de las variables originales.  Media:  Varianza:  Covarianza: COMPONENTES PRINCIPALES 3

Componentes principales  Primera componente principal: combinación lineal de X tal que COMPONENTES PRINCIPALES 4  Segunda componente principal: combinación lineal de X tal que

Componentes principales COMPONENTES PRINCIPALES 5 ...  i-ésima componente principal: combinación lineal de X tal que

Componentes principales Teorema COMPONENTES PRINCIPALES 6 Sea con matriz de covarianzas  y autovalores y autovectores

Componentes principales COMPONENTES PRINCIPALES 7 Entonces las componentes principales son: Además,

Componentes principales Teorema COMPONENTES PRINCIPALES 8 Sea con matriz de covarianzas  y pares de autovalores y autovectores

Componentes principales COMPONENTES PRINCIPALES 9 Sean las componentes principales: Entonces

Componentes principales Consecuencia COMPONENTES PRINCIPALES 10 La proporción de varianza explicada por la componente es: Proposición

Componentes principales Teorema COMPONENTES PRINCIPALES 11 Sean X, , , , y los pares de autovalores y autovectores de , Entonces las componentes principales de Z = (V 1/2 ) -1 (X – μ) son: Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con 

Componentes principales COMPONENTES PRINCIPALES 12 Además, y se cumple que Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con 

Componentes principales muestrales Teorema COMPONENTES PRINCIPALES 13 Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de S n Entonces la i-ésima componente principal muestral es:  La varianza muestral de es  Varianza total muestral:  Covarianza muestral de e es 0.  Correlación muestral:

Componentes principales muestrales Teorema COMPONENTES PRINCIPALES 14 Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de R Entonces la i-ésima componente principal muestral es:

Componentes principales muestrales COMPONENTES PRINCIPALES 15  Varianza muestral de es  Varianza total muestral:  Covarianza muestral de e es 0  Correlación:

Componentes principales muestrales Ejemplo COMPONENTES PRINCIPALES 16

Componentes principales muestrales Autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 17 Calcular componentes principales sobre las variables tipificadas.

Componentes principales muestrales Diagrama del precipicio COMPONENTES PRINCIPALES 18 Sirve para determinar cuántas componentes principales utilizar. Incluye el número de posibles componentes principales y los autovalores ordenados en los ejes x e y, respectivamente. Autovalores p 1 2  i  n. 1 2    i    n nº c.p. Nota: Cuando el gráfico se hace horizontal, no se utilizan más componentes principales Se toman i componentes principales

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 19 Dada, sean autovalores de  con (no se repiten). Sean X 1, X 2,..., X n i.i.d. y los siguientes autovalores y autovectores muestrales

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 20 (i) Comportamiento asintótico de los autovalores d (ii) Comportamiento asintótico de los autovectores d (iii) Cada es independiente de los elementos de

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores COMPONENTES PRINCIPALES 21 Ejemplo Construir un intervalo con 1-  = 0,95 para 1, siendo:

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24 Componentes principales con la matriz de correlaciones

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