LINEAS DE ESPERA (Cont). Universidad Juan de Castellanos Tunja Esp. LEONARDO BERNAL ZAMORA

Teoría de Líneas de Espera COLAS: Líneas de espera que utiliza modelos matemáticos que describen sistemas de líneas particulares o Sistemas de Colas. Modelos presentan las siguientes características: Estado Estable Tiempo de espera no muy largo. Costo de Servicio no sea muy alto.

TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos. Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

TEORIA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio COSTO TOTAL ESPERADO Costo Total Mínimo Costo por proporcionar el SERVICIO Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

TEORIA DE COLAS Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

El Modelo Básico Este sistema se conoce como cola de espera de un servidor Supuestos: Llegadas entran al sistema de manera aleatoria Las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez No se permiten llegadas simultáneas Distribución de Poisson 7

El Modelo Básico Supuestos: Las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea Las llegadas no pueden dejar la cola antes de ser servidas Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente No se permite que las unidades que salen del sistema vuelvan a entrar de inmediato 8

Características de Operación Análisis de la Cola Longitud Promedio de la Cola Tiempo de Espera Promedio en la Cola  2 Lq Wq = Lq = μ ( μ -  )  En donde:  es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo μ es la tasa promedio de servicio de las llegadas por unidad de tiempo 9

Características de Operación Análisis del Sistema Longitud Promedio del Sistema Tiempo de Espera Promedio en el Sistema  1 W = L = μ -  μ -  Regla general: la tasa de llegada debe ser menor que la tasa de servicio 10

C) Utilización de la Instalación de Servicio Po = 1 -  Probabilidad de que el sistema esté vacío: Tiempo de actividad esperado en el sistema: Probabilidad de tener n unidades en el sistema: Probabilidad de que la línea exceda a n: μ U = 1 - Po n Pn =  Po μ k+1  P(n>k)= μ 11

Una Cola y Varios Servidores Sea c el número de servidores Análisis de la cola Longitud Promedio de la Cola Tiempo de Espera Promedio en la Cola (/µ) C+1 Lq Wq = Po Lq= X  2 C x C! 1- /µ C 12

Características de Operación Análisis del Sistema Longitud Promedio del Sistema Tiempo de Espera Promedio en el Sistema  W = L L = Lq + μ  13

1- Probabilidad de que el sistema esté vacío (/µ) + +... Utilización de la instalación de servicio Probabilidad de que el sistema esté vacío Po = (/µ) C 1- /µ C! +1+ + +... 1! 2! (C-1)! Tiempo de actividad esperado en el sistema  cµ -1 1 2 (C-1) 14

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA Una cola de espera está compuesta de tres elementos: Arribos o ingresos al sistema Disciplina en la cola Servicio Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales: Tamaño de la población que arriba Patrón de llegada a la cola Comportamiento de las llegadas. 1.a.Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito).

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.a. Tamaño de la Población: Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado. LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO. Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio médico

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.b. Patrón de arribo al sistema: Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria. Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: DISTRIBUCION DE POISSON: P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo  = rata promedio de arribo .e = 2.71828

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

1 2 3 Valores de entrada para la Dist. Poisson l= 6 clientes por hora. Distribución de Poisson teniendo en cuenta t = intervalo de tiempo y e = 2.71828 Valores de entrada para la Dist. Poisson l= 6 clientes por hora. t = 0.5 horas. l t = (6)(0.5) = 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 1 1 = 0.224042 0.224042 0.049787 0.149361 2 3 0! 3! 2! 1!

TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola Longitud de cola promedio Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). Número de clientes promedio en el sistema. Probabilidad de que el servicio se quede vacío Factor de utilización del sistema Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

Notación de Kendall Agner Krarup Erlang, un ingeniero danés que trabajó para la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909. Se encargó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas. David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. La notación de Kendall para describir las colas y sus características puede encontrarse en Tijms, H.C,Algorithmic Analysis of Queues, Capítulo 9 en A First Course in Stochastic Models, Wiley, Chichester, 2003. Ha sido desde entonces extendida a 1/2/3/(4/5/6) donde los números se reemplazan con letras

Notación de Kendall La notación de Kendall nos permite escribir resumidamente todas las características que hemos estudiado, Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde: A es el modelo de llegadas, Valores posibles: M=tiempos entre llegadas exponenciales D=tiempos entre llegadas deterministas G=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución) B es el modelo de servicio, Puede tomar los mismos valores que A

Notación de Kendall X es el número de dependientes (servidores) Y es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), Se puede omitir si es infinita Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO V es el número de estados de servicio, Se puede omitir si es 1 Por ejemplo, M | M | 1 |  | FIFO | 1 se escribe abreviadamente M | M | 1

Medidas de rendimiento Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo es evaluar su rendimiento, Para ello tenemos varias medidas de rendimiento: Número medio de clientes en el sistema, notado L Tiempo medio de espera de los clientes, W Número medio de clientes en la cola, Lq Tiempo medio de espera en cola de los clientes, Wq