Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11.5 * 4º ESO E. AP. TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

DEFINICIÓN La Función de Proporcionalidad Inversa Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x.y = k Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. Gráficamente la forma que tiene es la de una HIPÉRBOLA. También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: P(x) k f(x) = ------ = b + --------- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x – a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN HORIZONTAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: k y = ---------- x – a Si a > 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la DERECHA. La asíntota vertical será x = a y el centro el punto (a , 0) Si a < 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. La asíntota vertical será x = - a y el centro el punto (- a, 0) Nota importante: No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación horizontal Sea f(x) = 4 /( x + 2) Partimos de la función: f(x) = 4 / x Al convertirse x en x+2 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. Vemos que la asíntota vertical es ahora x=– 2 Pues a=–2 El centro es (– 2, 0) y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x (-2, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN VERTICAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: k k + b.x y = ----- + b = ----------- x x Si b > 0 La hipérbola se desplaza b unidades ARRIBA. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b) Si b < 0 La hipérbola se desplaza b unidades ABAJO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación vertical Sea f(x) = (4 – 3.x) / x O sea: 4 f(x) = – 3 + ----- x Partimos de la función: f(x) = 4 / x A todos los valores de x se les resta 3 unidades (b= – 3) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. Vemos que la asíntota horizontal es ahora y= – 3 El centro es (– 3, 0) y x -3 -2 -1 0 1 2 3 (0 ,– 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN OBLICUA Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica de forma oblicua, o sea horizontalmente a unidades y verticalmente b unidades, la función se convertirá en: k k + b.x – b.a m.x + n y = --------- + b = ------------------  y = -------------- x – a x – a m´.x + n´ Que es la expresión general de estas hipérbolas. La asíntota horizontal será y = b La asíntota vertical será x = a El centro el punto (a, b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación oblicua Sea f(x) = – 3 + [4 /(x + 2)] Partimos de la función: f(x) = 4 / x Si h = 2 y k = - 3 4 f(x) = -------- – 3 = x + 2 4 – 3.x - 6 - 3.x - 2 = ---------------- = ----------- x + 2 x + 2 Vemos que la asíntota horizontal es ahora y = -3 y la vertical es x = - 2 El centro es (- 2, - 3) y x -3 -2 -1 0 1 (-2, -3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Valor de la constante k k Sea f(x) = b + --------- (x – a) Sea cual sea los valores de los parámetros a y b, coordenadas del centro de la hipérbola, siempre se cumple que: El rectángulo cuyas esquinas opuestas son un punto cualquiera de la hipérbola, P(xo, yo), y el centro C(a, b) presenta un área igual al valor absoluto de k. Por ejemplo Si el gráfico corresponde a la función f(x) = b – 8 / (x – a) Todos, los cuatro rectángulos señalados, tienen un área de 8 u2 C(a, b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

REGLA GENERAL REGLA GENERAL PARA REPRESENTAR FUNCIONES DEL TIPO: m.x + n y = ------------ p.x + q (m/p).x + n/p Si p<>1 se divide todo entre p: y = ------------------- x + q/p Se efectúa la división de polinomios, quedando: k y = ---------- + b x – a Se representa gráficamente y = k / x Y finalmente se traslada la gráfica cuyo centro será el punto P (a , b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo Ejemplo Representar la función: 8.x - 4 f(x) = ---------- y Se divide todo entre 2 4.x – 2 f(x)= ----------- x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 10 f(x) = 4 + --------- Se representa y = - 10 / x El centro es (- 2, 4) y (-2, 4) x -3 -2 -1 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Otro ejemplo Otro ejemplo Representar la función: x f(x) = ---------- Se efectúa la división, quedando: - 2 f(x) = 1 + --------- Se representa y = - 2 / x El centro debe pasar del (0,0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1 y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.