Tema 1 Preliminares de Cálculo La Recta Real Números Reales, Racionales e Irracionales Orden y desigualdades Conjuntos Intervalos de la recta real Intervalos acotados Intervalos no acotados Valor absoluto Distancia entre dos puntos El plano cartesiano Distancia entre dos puntos del plano La gráfica de una ecuación Modelos matemáticos Función real de una variable real Gráfica de una función Gráficas de funciones básicas Clasificación de las funciones. Funciones elementales Función compuesta Funciones pares, impares y ceros de funciones Función inversa Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva La Recta Real Coordenada: nº real que corresponde a un punto de la recta real origen -1 1 2 3 4 -2 -3 -4 números enteros números naturales Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 1

Números Reales, Racionales e Irracionales Recta Real Números Racionales Pueden expresarse como cociente de dos enteros Números Irracionales No pueden expresarse como decimales finitos ni periódicos -2,6 -2/3 5/4 2,5 -3 -2 -1 0 1 2 3 2 e p 0 1 2 3 4 Decimales finitos Periódicos 2 1,414213562 2 5 =0,4 1 3 e  2,718281828 =0,333...=0,3 p  3,141592654 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 2

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Orden y desigualdades a , b  IR a es menor que b si b-a es positivo Este orden se denota por la desigualdad a  b Análogamente mayor que  menor o igual que  mayor o igual que  Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se invierte la desigualdad x  3  -4 x  -12 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 3

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Conjuntos El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición  x : condición sobre x  Notación Un conjunto es una colección de elementos Conjunto de los números Reales IR Conjunto de los números reales positivos xIR : x  0  Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0  Unión de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos Intersección de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A y de B Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 4

Intervalos de la recta real (a, b) = x : a  x  b  Intervalo abierto extremos [a, b] = x : a  x  b  Intervalo cerrado Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 5

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Intervalos acotados Notación de intervalos Notación de conjuntos Gráfica Intervalo acotado abierto (a, b) x : a x  b  ( ) x a b Intervalo acotado cerrado [a, b] x : a  x  b  [ ] x a b Intervalos acotados [ a, b) x : a  x  b  [ ) x a b ni abiertos ni cerrados (a, b] x : a  x  b  ( ] x a b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 6

Intervalos no acotados Notación de intervalos Notación de conjuntos Gráfica Intervalos no acotados (-, b) x : x  b  ) x b abiertos (a, ) x : x  a  ( x a Intervalos no acotados (-, b] x : x  b  ] x b cerrados [a, ) x : x  a  [ x a (-,) x : xIR  Recta real x a b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 7

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Valor absoluto Si a es un número real, el valor absoluto de a es | a | = a si a  0 -a si a  0 Ejemplo: a = -4 | a | = | -4 | = - (-4) = 4 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 8

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es d = | a - b | = | b - a | | a - b | a b Distancia entre a y b El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el valor medio de a y b Punto medio de (a,b)= a + b 2 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 9

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva El plano cartesiano Sistema de coordenadas rectangular utilizado para representar pares ordenados (x,y) de números reales Eje y Cuadrante II Cuadrante I (x,y) y x y Eje x x origen Cuadrante III Cuadrante IV Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 10

Distancia entre dos puntos del plano distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano y1 (x1,y1) d | y2 - y1 | (x1,y2) y2 (x2,y2) x1 x2 | x2 - x1 | Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 11

La gráfica de una ecuación 3x + y =7 Solución (2,1) porque se satisface cunado sustituímos x por 2 e y por 1 Perspectivas en el Cálculo Analítica Numérica Gráfica Despejamos y en la ecuación inicial y = 7 - 3x Elaboramos una tabla numérica sustituyendo varios valores de x x 0 1 2 3 4 y 7 4 1 -2 -5 El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación 2 4 6 (2,1) (3,-2) (1,4) (0,7) 3x + y =7 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 12

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Modelos matemáticos Descripción de un problema (frecuentemente de la vida real) utilizando una formulación matemática (por ejemplo con una ecuación) con precisión y sencillez Ejemplo: Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por millón) en la atmósfera terrestre ¿Qué modelo es mejor? ¿Podríamos predecir en el año 2035 la cantidad de CO2 en la atmósfera? Modelo lineal Modelo cuadrático y = 313,6 + 1,24 t y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2 Cálculos realizados con el Método de ajuste por Mínimos Cuadrados 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315 310 - 5 10 15 20 25 30   Solución: Haciendo t=75 y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6 r2=0,984 y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95 r2=0,997 Es mejor el modelo cuadrático puesto que la correlación r2 es más próxima a 1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 13

Función real de una variable real Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y. El conjunto X se llama dominio de f. El número y se denomina la imagen de x for f y se denota por f(x). El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X. X Dominio x Y f X X X Recorrido y=f(x) x : variable independiente y : variable dependiente Notación de funciones Ecuación en forma explícita Ecuación en forma implícita Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 14

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Gráfica de una función La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde x pertenece al dominio de f y se denota por f(x). x = distancia desde el eje y f(x) = distancia desde el eje x. (x,f(x)) y =f(x) f(x) Gráficas de funciones básicas f(x) =x 1 2 3 -3 -2 -1 f(x) =x2 4 f(x) = x3 x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 15

Gráficas de funciones básicas f(x)= x 1 f(x) =x 3 3 2 2 2 f(x) = | x | 1 1 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 -2 f(x) = sen x f(x) = COS x 1 1 -p p 2p -2p -p p 2p -1 -1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 16

Clasificación de las funciones. Funciones elementales Función polinómica Término constante grado Funciones algebraicas Coeficiente dominante Coeficientes Función racional p(x), q(x) polinomios Funciones radicales. Por ejemplo, Funciones trigonométricas Seno, coseno, tangente,... 3 f-1(x) = ex Funciones exponenciales y logarítmicas 2 1 -2 -1 1 2 -1 f(x) = ln x -2 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 17

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Función compuesta Dominio de g f o g Sean f y g dos funciones. La función dada por (f o g)(x)=f(g(x)) se llama función compuesta de f con g. El dominio de es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f x f ( g(x) ) g(x) g f Dominio def Ejemplo: Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 18

Funciones pares, impares y ceros de funciones Si la gráfica de una función f, corta al eje x en el punto (a,0), entoces a se denomina un cero de f Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) =0 f(x) = 0 (a,0) Criterio para funciones pares e impares La función y=f(x) par si f(-x) = f(x) La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 19

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Función inversa Una función g es la inversa de una función f si f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f La función g se denota por f-1 f -1 f Dominio de f = Recorrido de f-1 Dominio de f-1= Recorrido def Ejemplo: Son funciones inversas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 20

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 21