Aproximaciones y errores de redondeo

Cifras significativas Los métodos numéricos dan resultados aproximados. Se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

Fig 3.1

Cifras significativas Las computadoras sólo retienen un número finito de cifras significativas, los números irracionales jamás se podrán representar con exactitud. La omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo

Exactitud y precisión Exactitud: se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. Precisión: se refiere a qué tan cercano se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Fig 3.2 Exactitud creciente Precisión creciente

Exactitud y precisión Inexactitud: conocida como sesgo, se define como una desviación sistemática del valor verdadero. Imprecisión: conocida como incertidumbre, se refiere a la magnitud en la dispersión de los datos.

Definiciones de error De truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones. De redondeo: se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Valor verdadero = valor aproximado + error Errores La relación entre el resultado exacto y verdadero está dado por: Valor verdadero = valor aproximado + error Et= valor verdadero – valor aproximado

Error

Cálculo de errores Se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm. Calcule el error verdadero Calcule el error relativo porcentual

Error En situaciones reales a veces es difícil o imposible contar con el valor verdadero. Cuando no se conoce a priori la respuesta verdadera, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor aproximación posible al valor verdadero.

Error

Error Los signos de las ecuaciones anteriores pueden ser positivos o negativos. A menudo, no importa mucho el signo del error, sino que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada

Error Si se cumple esta relación, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente.

Error Es posible demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad de que el resultado es correcto con al menos n cifras significativas.

Estimación del error con métodos iterativos La función exponencial se calcula usando la siguiente Serie de Maclaurin:

Errores de redondeo

Errores de redondeo Se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10.

Errores de redondeo Se relacionan de manera directa con la forma en que se guardan los números en la memoria de la computadora.

Representación de números La unidad fundamental se llama palabra (byte). Una palabra es una cadena de dígitos binarios o bits. Los números son guardados en una o más palabras.

Sistemas numéricos Notación posicional Bases

Fig 3.3

Representación entera Método de magnitud con signo Emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo. (0 positivo, 1 negativo). Los otros bits se usan para guardar el número. 1000000010101101=-173

Fig 3.4 Número Signo

Complemento a 2 Incorpora directamente el signo dentro de la magnitud del número.

Punto Flotante Se utiliza para representar números fraccionarios. Todo número se expresa como una parte fraccionaria llamada mantisa y una parte entera llamada exponente.

Punto Flotante 156.78=0.15678x103 En punto flotante, el primer bit se usa para el signo. La siguiente serie de bits para el exponente con signo. Los últimos bits para la mantisa.

Fig 3.5 Exponente signado Mantisa Signo

Mantisa normalizada Si se guarda en una computadora que sólo permite cuatro lugares decimales, se guardaría como 0.0294x100 El cero inútil a la derecha del punto decimal hacer perder el dígito 1.

Mantisa normalizada El número se normaliza para eliminar el cero, multiplicando por 10 y disminuyendo el exponente en 1, quedando: 0.2941x10-1 Así se conserva una cifra adicional.

Mantisa normalizada La normalización consiste en limitar el valor absoluto de m a:

Punto Flotante Permite representar tanto fracciones como números muy grandes. Requieren más espacio y más tiempo de procesamiento. Introducen un error de redondeo ya que la mantisa conserva un número finito de cifras significativas.

Problema Determinar un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda la información usando palabras de 7 bits. El primer bit para signo del número. Los otros 3 para signo y magnitud del exponente. Los últimos 3 para magnitud de la mantisa.

Problema 0111100 número positivo más pequeño. 0111100=+0.5x10-3 Los siguientes números más grandes son: 0111101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-3=0.078125 0111110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-3=0.093750 0111111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-3=0.109375

Fig 3.6 Magnitud de mantisa Signo de número Signo de exponente Magnitud de exponente

Problema Las equivalencias en base 10 se esparcen de manera uniforme en un intervalo de 0.015625. Para continuar el incremento se debe disminuir el exponente a 10, lo cual da 1x21+0x20 = 2

Problema La mantisa vuelve a disminuir hasta su valor más pequeño: 100, por lo que el siguiente número es: 0110100=(1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-2=0.125000 Lo cual sigue dando una brecha de 0.015625

Problema Los siguientes números incrementando mantisa son: 0110101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-2=0.156250 0110110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-2=0.187500 0110111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-2=0.218750 La brecha es ahora de 0.03125

Problema El número más grande es 0011111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x23=7

“Hueco” de subrebose en cero Fig 3.7 Redondeo Cancelación Rebose “Hueco” de subrebose en cero

Errores de redondeo El rango de cantidades que pueden representarse es limitado. Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango limitado. El intervalo entre los números aumenta conforme los números aumentan en magnitud.

Rangos limitado Hay números grandes positivos y negativos que no pueden representarse. Intentar emplear números fuera del rango da como resultado error de desbordamiento (overflow). Números muy pequeños tampoco pueden representarse (underflow) debido al agujero entre el cero y el primer número positivo.

Número finito de cantidades El grado de precisión es limitado. Los números irracionales no pueden representarse de manera exacta. Tampoco los racionales que no concuerdan pueden ser representados de manera precisa. Errores de cuantificación.

Errores de cuantificación La aproximación real se realiza de dos formas: cortando o redondeando. Cortando: simplemente omitir o cortar a partir de un término. Todos los errores son positivos. Redondeando: produce un error menor que el corte pero aumenta el trabajo computacional.

Intervalo entre números Permite que la representación de punto flotante conserve los dígitos significativos. También significa que los errores de cuantificación sean proporcionales a la magnitud del número representado.

Intervalo entre números Para normalizar los números de punto flotante, esta proporcionalidad se expresa:

Intervalo entre números b es el número base t es el número de dígitos significativos en la mantisa.

Fig 3.8 Error relativo más grande