Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA ECONOMÍA U.D. 5.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Venta de ordenadores … Entre impresoras y ordenadores de segunda mano se tiene establecido que un pequeño comercio venda como máximo 100 unidades. Dispone de 60 impresoras, lo que le reporta un beneficio unitario de 25 €; y de 70 ordenadores, lo que le reporta un beneficio unitario de 30 €. Determina las impresoras y ordenadores que debe vender para maximizar sus beneficios. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de impresoras que vende. Sea y = Nº de ordenadores que vende. F(x,y) = 25.x + 30.y 2.- Restricciones del problema x+y <= 100 , pues no puede vender más de 100 unidades total. x <= 60 , pues no tiene más de 60 y <= 70 , pues no tiene más de 70 x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … e impresoras. x + y ≤ 100 x ≤ 60 y ≤ 70 D (60, 40) C (30,70) B (0,70) A (0,0) E (60,0) 3.- Determinamos la región factible Vértices A(0,0) B(0,70) C(30,70) D(60,40) E(60,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Resolución analítica … 4.- Calculamos el valor de la función en los vértices F( 0,0 ) = 25.0 + 30.0 = 0 F( 0,70 ) = 25.0 + 30.70 = 0+2100 = 2100 F( 60,0 ) = 25.60 + 30.0 = 1500 + 0 = 1500 F( 30,70 ) = 25.30 + 30.70 = 750 + 2100 = 2850 F( 60,40 ) = 25.60 + 30.40 = 1500 + 1200 = 2700 Vemos que la máxima ganancia la obtiene en el vértice ( 20,70) Solución: Debe vender 30 impresoras y 70 ordenadores. (60, 40) (30,70) (0,70) (0,0) (60,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … y resolución gráfica. 4.- Dibujamos la recta 25.x + 30.y = 0 Y la hacemos pasar por todos vértices de la región factible mediante rectas afines. Si alguna recta frontera coincide con la paralela a la función objetivo todos y cada uno de los puntos de dicha recta frontera son solución del problema. La recta afín que pasa por el vértice ( 30,70 ) es la que presenta mayor ordenada en el origen. Luego: Debe vender 30 impresoras y 70 ordenadores para obtener el máximo beneficio, que será de: B = 25.30 + 30.70 = 750 + 2100 = 2850 (60, 40) (30,70) (0,70) (0,0) (60,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Fabricación de sillas … Una empresa fabrica sillas, mesas y estanterías en dos plantas. Una planta produce diariamente 1000, 3000 y 5000 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. La otra planta produce diariamente 2000 unidades de cada producto. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80.000, 160.000 y 200.000 unidades respectivamente de sillas, mesas y estanterías. Sabiendo que el coste de producción es de 2.000 € al día en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos con el mínimo coste?. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de días que debe trabajar la planta A. Sea y = Nº de días que debe trabajar la planta B. F(x,y) = 2000.x + 2000.y @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … mesas y estanterías. 2.- Restricciones del problema 1.000.x+2.000.y ≥ 80.000 , pues entre las dos plantas se deben producir al menos 80 000 sillas. 3.000.x+2.000.y ≥ 160.000 , pues entre las dos plantas se deben producir al menos 160 000 mesas. 5.000.x+2.000.y ≥ 200.000 , pues entre las dos plantas se deben producir al menos 200 000 estanterías. 2.- Restricciones del problema en miles de unidades x+2.y ≥ 80  y ≥ 40 – 0´5·x 3.x+2.y ≥ 160  y ≥ 80 – 1´5·x 5.x+2.y ≥ 200  y ≥ 100 – 2´5·x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Región factible abierta 3.- Determinamos la región factible Vemos que la zona rayada común es una región abierta. Vértices A(0,100) B(20,50) C(40,20) D(80,0) B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Resolución analítica … 4.- Calculamos el valor de la función en los vértices F( 0,100 ) = 2000.0 +2000.100 = = 0 + 200.000 = 200.000 F( 20,50 ) = 2000.20 + 2000.50 = = 40.000+100.000 = 140.000 F( 40,20 ) = 2000.40 + 2000.20 = 80.000 + 40.000 = 120.000 F( 80, 0 ) = 2000.80 + 2000.0 = 160.000 + 0 = 160.000 Vemos que el mínimo coste se obtiene en el vértice C( 40,20) Solución: La planta A trabajará 40 días y la planta B trabajará 20 días. A B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … y resolución gráfica. 5- Dibujamos la función objetivo y sus paralelas por los vértices F(x,y) = 2000.x + 2000.y 2000.x + 2000.y = 0 2000.(x+y) =0 x+y = 0 y = - x Vemos que la recta afín que pasa por el vértice C(40,20) es la que tiene una menor ordenada en el origen. El vértice C será el de un mínimo coste, el punto mínimo. Coste mínimo: Cmín = f(40,20) = = 2000.40 + 2000.20 = 120 000 € A B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.