Universidad de las Ciencias Informáticas UCI Matemática Numérica

Problema Se desea encontrar las raíces de la ecuación: Con 4 cifras decimales exactas.

Solución numérica de ecuaciones.

Sumario: 1.1 Introducción. 1.2 Separación de raíces. 1.3 Métodos numéricos de resolución de ecuaciones.

1.1 Introducción.

Problema General Hallar las raíces reales de la ecuación que se encuentran en un intervalo I. 2 Calcular raíces 1 Separar raíces

1.2 Separación de raíces.

Separación Gráfica f(x1) = 0 f(x2) = 0 y x y = f(x) x1 x2

Separación Gráfica f(x1) = g(x1) y x y = g(x) y = f(x) x1

Ejemplo Separe las raíces de la ecuación:

Solución x y  2 y = 2 sen x 1 x1 x2

Para ecuaciones algebraicas La ecuación algebraica de grado n: tiene exactamente n raíces complejas.

Regla de Descartes En la ecuación algebraica: el número de raíces reales positivas es menor o igual que m y tiene su misma paridad.

Regla de Descartes Donde m es la cantidad de cambios de signo en la sucesión de los coeficientes. m Cantidad de raíces positivas 5 1, 3 ó 5 4 0, 2 ó 4 3 1 ó 3 2 0 ó 2

Regla de Lagrange En la ecuación algebraica: todas las raíces positivas (si existen) son menores que:

Regla de Lagrange k: Posición del primer coeficiente negativo (ak). B: Valor absoluto del coeficiente negativo de mayor valor absoluto.

Raíces negativas Ecuación original f(x)=0. Se forma la ecuación f(-x)=0. Si r es una raíz positiva de f(-x)=0 entonces -r es una raíz negativa de la ecuación original.

Ejemplo Separe las raíces de la ecuación: Tiene tres raíces. Al menos una raíz es real.

Solución Raíces positivas: una en [0,4] m = 1 una raíz

Raíces negativas: Cambiando x por –x:

Nuevo Problema Raíces positivas: 0 ó 2 en [0,2.73] m = 2 0 ó 2 raíces

Raíces negativas: La ecuación original tiene 0 ó 2 raíces negativas en

Gráfica en [-2.73;4]

En resumen La ecuación: solo posee una raíz real y se encuentra en el intervalo [3.5;4]

1.3 Métodos numéricos de resolución de ecuaciones.

De intervalos De puntos Dos tipos de métodos De intervalos Bisección. Regula - Falsi. Métodos iterativos De puntos Iterativo Gral. Newton – Raphson. Secantes.

Método de Bisección Hipótesis: En [a,b] la ecuación posee una raíz. f(x) continua en [a,b]. f(a).f(b)<0.

Geométricamente y = f(x) a1 b1 y f(x1) x r x1

Geométicamente y = f(x) a2 b2 y x2 x f(x2)

Criterio de parada.

Algoritmo en seudocódigo. Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) repeat x := (a + b)/2 Error := (b - a)/2 if f(x) = 0 then x es raíz. FIN else if f(a) * f(x) < 0 then b := x else a := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

Método de Regula Falsi Hipótesis: A parte de las consideradas en Bisección. f´(x) y f´´(x) existen y no cambian de signo en [a,b].

x y y = f(x) a1 b1 x1 x1 r

x y a1 b1 x1

x y a2 x2 b2

x y a3 x3 b3

Fórmula de Regula Falsi. Condición de parada.

Algoritmo en seudocódigo. Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) xa :=  repeat Error := |x – xa| if f(x) = 0 then x es raíz. FIN else if f(a) * f(x) < 0 then b := x

Algoritmo en seudocódigo. else a := x xa := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,... Método de Iterativo General f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,...

Teorema (Punto Fijo) Sea r la raíz de la ecuación x=g(x) Sea I un entorno de r en el cual g y g’ son continuas y se cumple que, para alguna constante K < 1.

Teorema (Punto Fijo) Entonces la sucesión generada por el proceso iterativo: converge hacia r. x0I; xn = g(xn-1) para n = 1, 2, 3,...

Método de Newton - Raphson Haciendo transformaciones podemos obtener en el método iterativo general se obtiene:

Método de Newton - Raphson Hipótesis f´(x) y f´´(x) continua y no nulas en [a,b]. El inicio de la iteración x0, es tal que f(x0).f´´(x0)>0.

y = f(x) f(xn-1) r xn-1

Condición de parada.

Algoritmo en seudocódigo. xa:= x0 repeat Error := |x – xa| xa:= x until Error <  Terminar La raíz es x y su error absoluto es menor que Error.

Método de las secantes El método de las secantes es una variante para eliminar el proceso de derivación.

Método de las Secantes Hipótesis f´(x) y f´´(x) continua y no nulas en [a,b]. El inicio de la iteración x0 y x1 deben tomarse cerca de la raíz.

y = f(x) x0 x1 r x2

Condición de parada.

Algoritmo en seudocódigo. xa := x0; ya := f(x0) xb := x1; yb := f(x1) repeat yc := f(xc) Error := |xc – xb| xa := xb; ya := yb xb := xc; yb := yc until Error < 

Algoritmo en seudocódigo. until Error <  La raíz es xc y su error absoluto es menor que Error. Terminar

Bibliografía Álvarez Blanco, Manuel. Matemática Numérica. 2da Edición. Capítulo 2. Sitio Web de la asignatura.