Apuntes 2º Bachillerato C.S. DETERMINANTES U.D. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE CRAMER U.D. 3.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE CRAMER REGLA DE CRAMER Sea un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Sea un sistema que es compatible y determinado. Sea, por ejemplo, el sistema de orden 3 cualquiera: a.x + b.y + c.z = d a’.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” La matriz de los coeficientes será: La matriz ampliada será: a b c a b c d (A)= a’ b’ c’ (AM)= a’ b’ c’ d’ a” b” c” a” b” c” d” Si el rango de A es igual al rango de AM y a su vez igual al número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, y se podrá resolver mediante determinantes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE CRAMER SOLUCIONES POR LA REGLA DE CRAMER Si un sistema cumple las premisas de ser compatible y determinado, las soluciones del sistema serán: a b c |A| = a’ b’ c’ a” b” c” d b c a d c a b d d’ b’ c’ a’ d’ c’ a’ b’ d’ d” b” c” a” d” c” a” b” d” x = -------------------------; y = ---------------------------- ; z = -------------------------- |A| |A| |A| Obsérvese que en los determinantes del numerador se ha sustituido en |A| los coeficientes de la incógnita a calcular por la columna de las soluciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + y + z = 6 1 1 1 2.x + z = 5 A = 2 0 1 3.x - y = 1 3 -1 0 1 1 1 |A| = 2 0 1 = 0 + 3 – 2 – 0 + 1 – 0 = 2 3 -1 0 Siendo las soluciones del sistema: 6 1 1 1 6 1 1 1 6 5 0 1 2 5 1 2 0 5 1 -1 0 2 3 1 0 4 3 -1 1 6 x = --------------- = ---- = 1 ; y= --------------- = --- = 2 ; Z = --------------= --- = 3 |A| 2 |A| 2 |A| 2 Que se puede comprobar que verifican las ecuaciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 2 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + z = 3 1 0 1 2.y + z = 8 A = 0 2 1 3.x – y = – 5 3 – 1 0 1 0 1 |A| = 0 2 1 = 0 + 0 + 0 – 6 – 0 – (– 1) = – 5 3 – 1 0 Siendo las soluciones del sistema: 3 0 1 1 3 1 1 0 3 8 2 1 0 8 1 0 2 8 – 5 – 1 0 5 3 – 5 0 – 10 3 – 1 – 5 – 20 x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = ----- |A| – 5 |A| – 5 |A| – 5 Es decir: x = – 1, y = 2 , z = 4 , que se puede comprobar. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 3 Sea el sistema de orden 3: La matriz de los coeficientes será: x + y + z = 3 1 1 1 x – y + z = 1 A = 1 – 1 1 – x + y + z = 1 – 1 1 1 1 1 1 |A| = 1 – 1 1 = – 1 – 1 + 1 – 1 – 1 – 1 = – 4 – 1 1 1 Siendo las soluciones del sistema: 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4 -1 1 1 – 4 x = ---------------- = ----- ; y = ----------------- = ------ ; z = ---------------- = ----- |A| – 4 |A| – 4 |A| – 4 Es decir: x = y = z = 1 , que se puede comprobar. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.