puede o no ser verdadero, relativo a una o más poblaciones. 4.0 DOCIMA DE HIPOTESIS   4.1 DEFINICIÓN.- Hipótesis estadística es una suposición o enunciado que puede o no ser verdadero, relativo a una o más poblaciones. Una hipótesis estadística está compuesta de dos regiones: una de aceptación y una de rechazo , formulada de la siguiente manera H0 :  = o ( Hipótesis nula ) H1 :   o (Hipótesis alternativa ) Si   la región de aceptación entonces H0 se acepta en caso contrario se rechaza

4.2 DÓCIMA O PRUEBA DE HIPÓTESIS   Para probar una hipótesis estadística se debe seguir los siguientes pasos : 1)      Toma de muestras 2)      Formulación de la hipótesis 3)      Función pibotal de prueba 4)      El nivel de significación 5)      Encontrar el valor tabular 6) Encontrar el valor experimental de acuerdo a ( 3 ) 7)      Formulación de la decisión 8)      Conclusión

A1) CUANDO 2 ES CONOCIDO Ó N  30 Se formula la siguiente Hipótesis : A) DÓCIMA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL   A1) CUANDO 2 ES CONOCIDO Ó N  30 Se formula la siguiente Hipótesis : H0 :  = o H1 :   o o  < o o  > o Función pibotal o experimental: Fz = x -     n Donde Fz sigue una distribución Normal. Ejemplo1: 49 animales de laboratorio fueron infectados con una cierta bacteria y luego inmunosuprimidos. El número medio de organismos aislados posteriormente de los tejidos de dichos animales fue de 6.5 con una desviación estándar de 6¿ Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población que 6? Use alfa 5%

solución:   Como Fz es mayor que Zt (1.64) entonces Ho se acepa luego se concluye que la media de la población no es mayor que 6 con un nivel de confianza del 95%

Ejemplo2: Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por su deficiente llenado que debe ser, en promedio, de 32.5 onzas. Para ello toma una muestra de 60 botellas, encontrando que el contenido medio es de 31.19 onzas de liquido. Se sabe que la máquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación típica de 3,6 onzas. ¿ Puede el inspector llegar a la conclusión, a un nivel de significación del 5%, que se están llenando las botellas por debajo de su especificación de contenido?. Solución   x = 31.9 ;  = 32.5 ;  = 3.6;  = 0.05 H0 :  = 32.5 H1 :  < 32.5 Fz = x -  Fz = 31.9 – 32.5 = - 1.29    n 3.6   60 Como Fexp z (-1.29) es mayor que Ftab ( -1.65 ) , Fexp Z se sitúa en la Zona de aceptación, luego Ho se acepta entonces es válida la hipótesis nula , lo cual significa que el inspector no debe llegar a la conclusión de que se está llenando y vendiendo un producto por debajo de su especificación, al nivel del 5%.

En este caso se formula la siguiente hipótesis: H0 :  = o A2) CUANDO 2 ES DESCONOCIDO Y n  30   En este caso se formula la siguiente hipótesis: H0 :  = o H1 :   o ó  < o ó  > o Función experimental Ft = x -  s   n Donde t sigue una distribución t de Student´s con n –1 grados de libertad. Ejemplo : Un proceso esta programado para empacar la cantidad, media , de una libra ( 16 onzas ) de café. Se toma una muestra aleatoria de 16 paquetes; resulta una media de 14,2 onzas y una desviación típica de 5.3 onzas. Al nivel del 5%, ¿ se podrá afirmar que no se esta cumpliendo con la indicación en el empaque ?.

Solución  = 16 x = 14.2 n = 16 s = 5,3  = 0.05 H0 :  = 16    = 16 x = 14.2 n = 16 s = 5,3  = 0.05 H0 :  = 16 H1 :   16 Ft = x -  = Ft = 14.2- 16 = - 1.358 s   n 5.3/  16 t ( 0.025) (15) =  2.13 Al nivel del 5% se puede afirmar que se esta cumpliendo con lo indicado por la fábrica. Se puede ver que – 1.358 esta en la zona de aceptación por lo tanto se acepta la hipótesis nula Ho y se rechaza la hipótesis alternativa H1.

B1) CUANDO  12 22 SON CONOCIDAS B) PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS   B1) CUANDO  12 22 SON CONOCIDAS En el caso que se quiera hacer comparaciones de los promedio de dos poblaciones H0 : 1 = 2 H1 : 1  2 , 1 < 2 , 1 > 2 De acuerdo a la alternativa se construye la región crítica. La función experimental es: Donde Fz sigue una distribución normal estándar.

Ejemplo: Una muestra aleatoria de tamaño n1 = 21 tomada de una población normal , con una desviación estándar 1 = 5.2 tiene una media x1 = 81 , una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 36 tomada de una población normal diferente con una desviación estándar 2 = 3.4 tiene una media x2 = 76. Al nivel de significación del 0.06 pruebe la hipótesis de que : 1 = 2 contra la alternativa 1  2 .   Solución H0 : 1 = 2 ; H1 : 1  2 Función experimental: F(0.03) = - 1.88 Ho se rechaza las medias de las poblaciones son diferentes.

B2) CUANDO  12 22 SON DESCONOCIDAS Y n1 , n2 < 30   Se usa la función experimental . Es un t de student con n1 + n2 - 2 grados de libertad.

es igual a una constante determinada .   C ) DOCIMA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES C1) CUANDO SE REFIERE A UNA POBLACIÓN La prueba de hipótesis para proporciones ( porcentajes o probabilidad ) es igual a una constante determinada . Haciendo uso de la aproximación de la distribución normal a la binomial para muestras grandes se obtiene: H0 : P = P0 H1 : P  P0 , P < P0 , P > P0 Obtenemos el estadístico Fz = x – n P0 nP0 ( 1- P0 ) Donde: n :tamaño de la muestra P0 :proporción conocida Q = 1 – P0

Ejemplo   Un candidato afirma que tiene apoyo del 55% de los electores de su distrito ¿ Qué conclusión podemos obtener si una muestra aleatoria de 500 electores 245 expresaron su preferencia por él ?. Solución H0 : P = P0 = 0.55 H1 : P  P0 = 0.55 Fz = 245 – 500*0.55  = -2.703 500*0.55 ( 1- 0.55) Fz cae en la región de rechazo para  = 0.01 luego se rechaza H0 y entonces se acepta H1 : P  0.55 , esto es, el candidato no tiene el 55% de electores a su favor, probar la hipótesis al 1% de nivel de confianza.

C2) CUANDO SE REFIERE A DOS POBLACIONES (DIFERENCIA DE PROPORCIONES )   En este caso x1 , x 2 son variables aleatorias de dos poblaciones normales y se desea hacer una dócima de hipótesis para la igualdad de proporciones , se realiza mediante la función experimental : para la hipótesis: H0 : P1 = P2 H1 : P1  P2 , P1 < P2 , P1 > P2

Ejemplo Se desea determinar si hay alguna diferencia significativa, según el sexo, en la preferencia para estudiar maestría en la UPT . Se realizó una muestra aleatoria entre 26 hombres y 18 mujeres, indicando que 16 y 10 respectivamente, preferían estudiar en la UPT . Pruebe la hipótesis de que existe diferencia significativa en la preferencia por sexo , a un nivel de confianza del 95%.   Solución H0 : P1 = P2 H1 : P1  P2 P1 = 16/26 = 0.62 ; P2 = 10/18 = 0.55  = 0.05 P = (16+10 ) / ( 26+18) = 26/44 = 0.59 Ho se acepta ya que se encuentra en la región de aceptación para Ftab Z  1.96 lo que significa que no existe preferencia a la UTP por el sexo a un nivel de significación del 5%

D) DÓCIMA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA   Si x1, x2 , x3 , ... xn es una muestra aleatoria de una distribución normal con E[x] = y v[x] = 2 H0 : 2 = 2o H1: 2 == 2o , 2 < 2 0 , 2 > 2o La función experimental está dado por: F2 = (n-1) s2 2o Es el valor de una variable aleatoria  2 con n – 1 grados de libertad.

Ejemplo   Se afirma que una de las piezas de un motor, producida por una compañía, tiene una varianza del diámetro no mayor que 0.0002 ( la mediciones de los diámetros están en pulgadas ) . Una muestra aleatoria de 10 partes reveló una varianza muestral de 0.0003. Pruebe , a un nivel de 5%, Ho : 2 = 0.0002 frente H1: 2 > 0.0002.

Solución   Tenemos que suponer que las mediciones de los diámetros tiene una distribución normal. Entonces le estadístico de prueba es F2 = (n-1) s2 rechazamos Ho para valores de este 2o estadístico mayores que 20.05 = 16.919 (con 9 grados de libertad ) el valor observado del estadístico de prueba es : F2 = 9* 0.0003/ 0.0002 = 13.5 Por lo tanto no se rechaza Ho . No hay suficiente evidencia para indicar que 2 > 0.0002.