UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA.

Introducción Para los modelos de línea de espera mas comunes, la población de unidades o clientes que llegan para servicio se consideran ilimitadas. En términos técnicos, cuando no se pone límite respecto a cuántas unidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una población infinita. Bajo esta suposición, la tasa media de llegada λ permanece constante sin importar cuántas unidades hay en el sistema de línea de espera. Esta suposición de una población infinita se hace en la mayoría de los modelos de línea de espera.

Introducción En cambio existen otros casos, en los que se asume que la cantidad máxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finita. En esta situación, la tasa media de llegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la línea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tiene una población finita.

Para el caso de distribución de llegadas de Poisson, tiempos de servicio con distribución exponencial y un servidor, quedaría expresado como M/M/1.

El modelo M/M/1 En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de sistemas cuyas llegadas de clientes sean aleatorias y en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o los clientes que llegan a hacer operaciones en un banco. También es frecuente que en este tipo de sistemas, los tiempos de servicio se comporten aleatoriamente con una distribución exponencial. En caso de que el sistema cuente con un solo servidor, a este sistema lo identificaremos como M/M/1 y supondremos las siguientes características.

Las llegadas para cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada λ.

Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio μ.

La población de unidades que pueden buscar servicio es finita.

Parámetros de desempeño en el estado estable para el modelo M/M/1 Las siguientes fórmulas pueden usarse para calcular las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:

Las características operativas del modelo M/M/1 sólo son válidas cuando la tasa media de servicio  es mayor a la tasa media de llegadas  

Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población finita.

La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una población finita se define en función de cuán a menudo llega o busca servicio cada unidad.

Con una población finita, la tasa media de llegada para el sistema varía, dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema.

En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cambiante, en el modelo de población finita, λ indica la tasa media de llegada para cada unidad.

Características operativas para, el modelo M/M/1 con una población finita de demandantes. Las siguientes formulas se usan para determinar las características operativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una población finita donde: λ = la tasa media de llegada para cada unidad μ= la tasa media de servicio N= el tamaño de la población

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

7. Probabilidad de n unidades en el sistema:

Ejemplo: El servicio de lavado de autos Mr. Clean está abierto seis días a la semana, pero el día de trabajo más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, el gerente estima que los coches sucios llegan a una tasa de 22 por hora, durante todo el sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Se cuenta con una línea de espera con un solo canal, es decir, los automóviles se lavan de uno en uno cuando les toca su turno. Supón las llegadas con distribución de Poisson y tiempos exponenciales de servicio.

Solución:

A continuación, obtendremos los parámetros operacionales.

El número promedio de automóviles en la línea se definirá de la siguiente manera:

El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado:

El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio:

La probabilidad de que un cliente tenga que esperar en el lavado de automóviles:

La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema:

La probabilidad de que haya 5 automóviles en el sistema: