VECTORES EN EL PLANO Curso 2012 Nivel 4º E.S.O.

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio PQ Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

RS PQ S R La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por Vectores de la misma magnitud

Un vector es un segmento orientado

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido Vectores de la misma dirección S R Q P S R S R Vectores en direcciones distintas P Q

Vectores Equivalentes Q P Tienen la misma magnitud y dirección S R Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

O Eje x Eje y Representante del vector por el origen de coordenadas

(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P u a b A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) Eje Y O Eje X

Y a la inversa: dado (a,b) perteneciente a un plano se le asocia el vector u así: Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales u a b P(a,b) Eje Y O Eje X

Dado el vector u(-2,3) representarlo en el plano Eje Y O Eje X Dado el vector u(-2,-4) representarlo en el planoDado el vector u(0,3) representarlo en el planoDado el vector u(-2,0) representarlo en el planoDado el vector u(1,-4) representarlo en el plano i(1,0) Dado el vector i(1,0) representarlo en el plano j(0,1) Dado el vector j(0,1) representarlo en el plano

Punto P en el plano (a,b) 2 Vector u=OP desde el origen hasta P Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

10cm 6cm 31º

7,67cm 6cm 38º

6cm 6cm 45º

2,8cm 6cm 65º

10cm ¿b? 27º ¿a?

12cm ¿b? 62º ¿a?

15cm ¿b? 11º ¿a?

9cm ¿h? 74º ¿a?

3cm ¿h? 24º ¿a?

8cm ¿h? 48º ¿b?

6,4cm ¿h? 23º ¿b?

Magnitud o módulo de un vector u El vector nulo (0,0) no tiene dirección Dirección de u Angulo positivo que forma con el eje X u a b (a,b) Eje Y O Eje X Un vector de módulo uno se llama unitario

Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Eje Y O Eje X Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X

¿a? ¿b? Eje Y O Eje X Halla las componentes del vector u si el módulo vale 4 y el ángulo θ = 28º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 2 y el ángulo θ = 60º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 1 y el ángulo θ = 150º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 6 y el ángulo θ = 220º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 3 y el ángulo θ = 315º

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j Eje Y O Eje X u x y i j xi yj

Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X Eje Y O Eje X Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X

Operaciones con vectores Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (x+a, y+b) producto por un escalar u como u=( x, y).

Operaciones con vectores Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo Eje Y O Eje X u+ v u+ v u v

Operaciones con vectores Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo Eje Y O Eje X u- v u- v u v u- v u- v

Operaciones con vectores Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del paralelogramo Eje Y O Eje X u+ v u+ v u v

Operaciones con vectores u+v=(x+a,y+b) a y O Eje Y Eje X u+ v u+ v u v ax y b b b x x

Operaciones con vectores Si u=(x,y), u=( x, y) Eje Y O Eje X u u >0 u <0 0< <1

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v= uvcos : Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v. Producto escalar

El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Nueva definición de Producto escalar:

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v. Producto escalar

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o. Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2 Producto escalar Eje X Eje Y /2

Propiedades del producto escalar u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.

Interpretación geométrica: Teorema: Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos: v u u cos

Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j. Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.

Ejemplo: Sean los vectores A = 3i -2 j y B = -i - j. Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.

Ejemplo: Sean los vectores A = -4i +2 j y B = -3j. Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.