Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 13 * 2º ESO FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA U.D. 13.4 * 2º ESO OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA FUNCIÓN LINEAL Si nos dicen que una función es lineal en un enunciado, que la gráfica de una recta pasa por el origen de coordenadas (0,0), o que el punto (0,0) forma parte de una tabla de valores de proporcionalidad directa: Tomamos un punto cualquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x1, y1). m=y1 / x1  y=mx  f(x) = m.x FUNCIÓN AFÍN Si en un enunciado, en la gráfica, o en una tabla de valores, no nos dicen que es una función lineal, pero vemos o deducimos que su gráfica es una línea recta, entonces hallaremos la función afín: Tomamos dos puntos cualesquiera de la Tabla o del Gráfico: A(x1, y1), y B(x2, y2). m= (y2 – y1) / (x2 – x1)  f(x) = m.x + n Tomamos un punto: A, B o cualquier otro conocido de la Gráfica o Tabla. y=mx + n  y1 = m. x1 + n  Y despejamos n de la ecuación resultante. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN EJEMPLO 1 Una función lineal pasa por el punto A(4,5). Hallar su pendiente y su ecuación. m=y/x  m= 5/4 = 1,25  y=mx  y = 1,25x EJEMPLO 2 Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2,3). Hallar su ecuación. Al pasar por el origen es una función lineal. m=y/x  m= 3/(-2) = -1,5  y=mx  y = -1,5x EJEMPLO 3 Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. ¿Es una función lineal?.¿Por qué?. Hallar su pendiente y su ecuación. El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el envoltorio, por lo cual deducimos que es una función lineal. Conocemos sólo un punto de la Tabla, el (100, 2), pero es suficiente. m=y/x  m= 2/100 = 0,02  y=mx  y = 0,02x @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Si la gráfica de una función es una línea recta, o la tabla de valores nos dicen que es de una función de proporcionalidad directa, podemos obtener la fórmula con sólo saber dos pares de valores o puntos de la gráfica. Por ejemplo, al aumentar la cantidad de kilos de naranjas que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. Tomamos los puntos: A(3 , 6) y B (5, 10) Calculamos la pendiente, m: 10 – 6 4 m= --------- = ---- = 2 5 – 3 2 La fórmula será: y = m.x y = 2.x y = Gasto (en €) 10 8 6 4 0 1 2 3 4 5 x Cantidad ( en kg ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Otro ejemplo, al aumentar la cantidad de bombones que compremos, la x, aumenta el gasto o dinero a pagar, la y. Tomamos los puntos: A(2 , 0’6) y B (4, 1) Calculamos la pendiente, m: 1 – 0’6 0’4 m= --------- = ---- = 0’2 4 – 2 2 La fórmula será: y = m.x  y = 0’2.x Pero al comprobarlo, para x=2, el precio es de 0,4 en lugar de 0’6. Nos han cobrado el envoltorio (0’2 €). y = 0’2.x + 0,2 y = Gasto (en €) 1 0,8 0,6 0,4 0 1 2 3 4 5 x Cantidad ( en kg ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Otro ejemplo de función es aplicar frío a un objeto durante unos minutos y medir la temperatura de dicho objeto. Tomamos los puntos: A(3 , - 9) y B (4, -12) Calculamos la pendiente, m: -12 – (-9) -12+9 - 3 m= -------------- = --------- = ----- = - 3 4 – 3 1 1 La fórmula será: y = m.x y = - 3.x Al ser la pendiente negativa, al aumentar el valor de x disminuye el valor correspondiente de y. y = Temperatura (en ºC) -3 -9 -12 0 1 2 3 4 5 x = Tiempo ( en minutos) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Un último ejemplo, al aumentar el tiempo de tener abierto un desagüe, disminuye la cantidad de agua que habrá en la bañera. Tomamos los puntos: A(2 , 6) y B (4, 2) Calculamos la pendiente, m: 2 – 6 – 4 m= --------- = ------ = – 2 4 – 2 2 La fórmula será: y = m.x + n  y = – 2.x + n Tomamos el punto A(2, 6) y sustituímos sus valores: 6 = – 2.2 + n  6 = – 4 + n Despejamos n: 6 + 4 = n  n = 10 La fórmula será: y = – 2.x + 10 y = Cantidad de agua (en m3) 10 8 6 4 0 1 2 3 4 5 x = Tiempo ( en minutos) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Una función afín viene dada por dos puntos: A=(3, 4), B=(5, -2) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=mx+n Calculamos el valor de la pendiente: y2 – y1 – 2 – 4 m = ----------- = ----------- = - 6 / 2 = - 3 x2 – x1 5 – 3 Tomando un punto, el A: 4 = m.3 + n Sustituyo el valor de m: 4= – 3.3+n  4 = – 9 + n   4+9 = n  n = 13 Luego: f(x) = – 3.x + 13 Al ser m negativa la función es decreciente. Tabla de valores x y 3 4 5 -2 Expresión f (x) = - 3.x + 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(-2, -6), B=(5, 1) Hallamos el valor de la pendiente: y2 – y1 1 – (– 6) m = ----------- = ------------- = 7 / 7 = 1 x2 – x1 5 – ( -2) Como y=mx+n Tomando un punto, el B: 1 = m.5 +n Sustituyendo: 1 = 1.5+n 1 = 5+n  1 – 5 = n  n = – 4 Luego: f(x) = x – 4 Al ser m positiva la función es creciente. 1 -2 5 -6 Expresión f (x) = x – 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES Una función afín viene dada por dos puntos: A=(4, 3), B=(5, -7) en una gráfica o tabla. Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=mx+n Tomando el punto A: 3 =m.4 +n Tomando el punto B: -7=m.5+n Sistema por Reducción (restando): 3 – (– 7) = 4m – 5m + n – n 10 = – m  m = –10   n = 3 – 4m  n = 3 – 4.(– 10) = 3 + 40 = 43 Luego: f(x) = – 10.x + 43 Al ser m negativa la función es decreciente. Tabla de valores x y 4 3 5 -7 Expresión f (x) = -10.x + 43 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

OBTENCIÓN DE LA FÓRMULA APLICANDO SISTEMA DE ECUACIONES Nos dan un gráfico de una línea recta nos y piden la ecuación de dicha línea o función afín. Resolución: Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico: A=(2, 7), B=(5, 21) Como y=mx+n Tomando un punto, el A: 7 =m.2 +n Tomando el otro, el B: 21=m.5+n Por Reducción (restando): 21 – 7 = 5m – 2m + n – n 14 = 3m  m = 14 / 3  n = 7 – 2m  n = 7 – 2.14/3 = – 7/3 Luego: f(x) = (14/3).x – 7/3 Al ser m positiva la función es creciente. 21 7 2 5 Expresión f (x) = (14/3).x – 7/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO