Apuntes de Matemáticas 3º ESO CUERPOS GEOMÉTRICOS U.D. 10 * 3º ESO E.AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES U.D. 10.2 * 3º ESO E.AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL TETRAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus cuatro caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 El área de cada cara: A= b.h / 2 Luego el área total es: At = 4. a . (a.√3/2) / 2 = = 4. a2 .√3 / 4 At = a2 .√3 h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 1 Hallar el área de un tetraedro de 4 cm de arista. A=a2.√3 =42.√3 = 16.1,7320 = 27,71 cm2 Ejemplo 2 Hallar el área de un tetraedro cuya altura de una cara mide 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=a2.√3 = 4,622.√3 = 21,33.1,7320 = 36,95 cm2 Ejemplo 3 Hallar la arista de un tetraedro de 40 cm2 de área. Acara = A / 4 = 40 / 4 = 10 cm2 ; Acara = a2.√3 / 4 Operando: 10 = a2 .√3 / 4  a2 = 40 /√3  a = √23 = 4,81 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL EXAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus seis caras. El área de cada cara: A= l2 Luego el área total es: At = 6.l2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 4 Hallar el área de un exaedro de 4 cm de arista. A=6.a2 =6.42 = 6.16 = 96 cm2 Ejemplo 5 Hallar el área de un exaedro cuya diagonal de una cara mide 4 cm. Como d = a.√2 por el Teorema de Pitágoras Despejando la arista: a = d / √2 = 4 / 1,4142 = 2,8284 cm A=6.a2 = 6.2,82842 = 6.8 = 48 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 6 Hallar el área de un exaedro de 4 cm de diagonal. Por el Teorema de Pitágoras: d2 = a2 + a2 , en una cara. D2 = d2 + a2 , en el cubo. Luego: D2 = a2 + a2 + a2 = 3.a2 Despejando la arista: a2 = D2 / 3 = 42 / 3 = 16 / 3 De donde a = √(16/3) = 2,31 cm A=6.a2 = 6.2,312 = 32 cm2 D a d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL OCTAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus ocho caras. La altura en un triángulo equilátero es: h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 8. a . (a.√3/2) / 2 = = 8. a2 .√3 / 4 At = 2.a2 .√3 h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 7 Hallar el área de un octaedro de 4 cm de arista. A=2.a2.√3 = 2.42 .1,7320 = 2.16.1,7320 = 55,424 cm2 Ejemplo 8 Hallar el área de un octaedro cuya altura de una cara mide 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=2.a2.√3 = 2.4,622.√3 = 2.21,33.1,7320 = 73,90 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL DODECAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus doce caras. El área de cada cara: A= P.apo / 2 Luego el área total es: At = 12.5.a.apo / 2 At = 30.a.apo @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 9 Hallar el área de un dodecaedro de 4 cm de arista y 2,75 cm de apotema. A=30.a.apo = 30.4.2,75 = 330,33 cm2 Ejemplo 10 Hallar el área de un dodecaedro cuya suma de sus aristas vale 80 cm y tiene 2,75 cm de apotema. Como presenta 20 aristas, 20.a = 80  a = 80 / 20 = 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

DESARROLLO DEL ICOSAEDRO ÁREA La suma de las áreas de sus veinte caras. El área de cada cara: A= a.h / 2 , siendo h = a.√3 / 2 Luego el área total es: At = 20. a . (a.√3/2) / 2 = 20. a2 .√3 / 4  At = 5.a2 .√3 2 h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 11 Hallar el área de un icosaedro de 4 cm de arista. A=5.a2.√3 = 5.42 .1,7320 = 5.16.1,7320 = 138,56 cm2 Ejemplo 12 Hallar el área de un icosaedro cuya altura de su cara es 4 cm. Como h = a.√3 / 2  4 = a.√3 / 2  8 = a.√3 Finalmente a = 8 / √3 = 8 / 1,7320 = 4,62 cm A=5.a2.√3 = 5.4,622.√3 = 5.21,33.1,7320 = 184,75 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO