Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios U.D. 4 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ÁLGEBRA Y MONOMIOS U.D. 4.1 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Expresión algebraica EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina COEFICIENTE. A las letras se las llama VARIABLES, y a su exponente GRADO. Ejemplos: 4.x + y/5 – z El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. (4.x + y)/5 – 3.z El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 18%. Si llamamos x al PVP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: 18 x + -----. x 100 El precio final será x+0,18.x Hemos de pagar 1,18.x , siendo x el PVP. Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. Si llamamos P al precio final, queda: P = 1,18.x , que es lo que llamamos FÓRMULA. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 Sea un rectángulo. Llamamos b a lo que mide el lado de la base. Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. El perímetro de un rectángulo es: 2.b+2.h El área de un rectángulo es: b.h Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. Si empleamos: P = 2.b+2.h A = b.h Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: Llamamos x a la nota de un examen (máximo 9 puntos). Llamamos y a la nota del otro examen (máximo 9 puntos). Llamamos z a la nota de clase (máximo 1 punto). Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: x + y ------- + z 2 Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: N = -------- + z @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. Nos cobrará al final: 30 + 2.x . 10 Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: P = 30 + 20.x Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Monomios Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.x3 El 4 es el coeficiente numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. EJEMPLOS PRÁCTICOS Por x representaríamos una longitud. Por x2 representaríamos una superficie. Por x3 representaríamos un volumen. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Monomios semejantes Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal. EJEMPLO 4.x3 , 7.x3 , - 23.x3  Parte literal común: x3 - 5.a5 , 31.a5 , - 3.a5  Parte literal común: a5 x.y3 , 7.x.y3 , - 2.x.y3  Parte literal común: x.y3 Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes. 3.x + 2.y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas?) 5.x2 + 2. x3 no se pueden sumar (¿5 m2 + 2 m3 ?). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Suma de monomios La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO EJEMPLOS 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3  Monomio 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3  Monomio 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2  Polinomio @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Producto de monomios El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO División de monomios La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x5 y 5.x2 (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3 Sea 2.x3 y 5.x (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Potencia de monomios La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. EJEMPLO 1 Sea (4.x3)2 (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6 EJEMPLO 2 Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27 . x 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 3 Sea [(1/2 ).x2 ]3 (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6 EJEMPLO 4 Sea (2.x4 )5 (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20 EJEMPLO 5 Sea (2.x3 .y)4 (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios no semejantes. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x P(x) = 3.x3 - 7.x + 5 P(x) = x3 + 7.x2 - 5.x - 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO