III. Matemáticas Financieras

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Futuro ES EL VALOR ALCANZADO POR UN CAPITAL AL FINAL DEL PERÍODO ANALIZADO (VF). Supongamos que cuenta hoy con un capital inicial = C0 y r es la rentabilidad al cabo de un período. ¿Cuál sería el valor en t=1 de C? C0 C1 r C1=C0+C0*r=C0 (1+r) Luego, t=0 t=1 VF1(C)= C0 (1+r) IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual ES EL VALOR EQUIVALENTE HOY DE UN CAPITAL A RECIBIR AL FINAL DEL PERÍODO ANALIZADO (VA). Supongamos que recibirá una cantidad C1 al cabo de un año y r es la rentabilidad del mercado. ¿Qué cantidad HOY sería equivalente a C1? r C0 C1 Sabemos que C1= X(1+r) Sea X=Valor Actual =VA, entonces: t=0 t=1 VA= C1 * 1/ (1+r) Donde 1/(1+r) corresponde al factor de descuento o actualización IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Valor del Dinero en el Tiempo VALOR FUTURO capitalizar t=0 t=1 VALOR ACTUAL actualizar o descontar t=0 t=1 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual Si la cantidad C se recibe en n períodos más: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual Para calcular el VA, descontamos los cobros futuros esperados a la tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables (r). Nota: También se le conoce como Valor Presente VA = VF * factor de descuento IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS VF y VA con n>1 Ct/(1+r) Ct Ct(1+r) Ct(1+r)n-1 Ct/(1+r)t VA /// 1/(1+r) VF /// (1+r) IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS VA con n>1 ¿Qué pasa con el VA si tenemos n períodos? n t 1 Cn Ct C1 PROPIEDAD 1: VA (A +B)= VA(A) + VA(B) Entonces tenemos: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

VA con n>1 Luego, sumando los valores actuales queda: Valor Actualizado Neto (VAN) Valor Presente Neto (VPN) IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS VA con n>1 El caso más general es cuando las tasas de interés son diferentes para cada período. Si las tasas para cada período son r1; r2; r3; etc., entonces: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual Neto Si tenemos varios flujos futuros, necesitamos una métrica única para comparar el valor. El concepto de Valor Actual Neto aparece como una respuesta a esta necesidad. Definiremos entonces: También se le conoce como Valor Presente Neto, y corresponde a la medida de valor neto en el momento actual de los flujos de caja futuros. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual Neto Ejemplo: Usted enfrenta dos alternativas: 1 Proyecto Inmobiliario (sup: libre de riesgo) Bonos del Gobierno -$1000 $200 $700 $300 1 3 2 -$1000 $60 $1060 1 3 2 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Valor Actual Neto Para poder comparar ambas alternativas de inversión, debemos resumir ambos flujos en un solo valor. Supongamos r=6%, como tasa de descuento. Luego: VAN(p.inmob)= $64 VAN(b. gob) =$0 Por lo tanto preferiremos el proyecto inmobiliario frente a invertir en los bonos del gobierno, porque tiene un mayor VAN. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Sobre la inversión Las empresas invierten en distintos activos reales Los activos pueden ser de diferentes tipos: Activos tangibles o físicos (maquinaria, edificios) Activos intangibles (contratos de gestión, patentes, marcas) Activos financieros (acciones, bonos) Objetivo de la decisión de inversión es encontrar activos cuyo valor supere su costo. Dado lo anterior surge la necesidad de valorar adecuadamente los activos. Si existe un buen mercado para un activo el valor presente será exactamente su precio de mercado. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Sobre el riesgo No todas las inversiones tienen el mismo riesgo. Ejemplos: Bonos del tesoro Construcción de oficinas Perforación de un pozo de petróleo En principio a mayor riesgo mayor es la rentabilidad exigida. Los inversionistas exigen un premio por riesgo. Más adelante se discutirá el problema del riesgo y como éste afecta el valor de los activos. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Anualidades En la práctica existen numerosos casos en que nos enfrentamos a la alternativas de pagar o ahorrar con cuotas iguales, versus pagar el valor actual de dichas alternativas. Por ejemplo, la posibilidad de realizar compras en un cierto número de cuotas versus precio contado (valor actual) que ofrecen las casas comerciales, compañías de seguros, valores de arriendos, etc.; ahorrar periódicamente sumas fijas de dinero y su valor capitalizado; comprar instrumentos de mercado que ofrecen pagos periódicos; contratar deudas, como préstamos, créditos hipotecarios, etc. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Anualidades Activo que produce cada año una suma fija y constante durante un determinado número de años C IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Anualidades Multiplicando la ecuación anterior por (1+r): Restando la primera ecuación de la segunda: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Anualidades Despejando el valor de VA: O bien: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Perpetuidades Corresponde a un flujo constante que se paga hasta el infinito. Veamos el caso de la deuda perpetua con un pago anual de C Considerando una tasa r, tomamos el límite de una anualidad cuando n tiende a infinito: C 8 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Perpetuidades con crecimiento Supongamos que los flujos crecen a una tasa g. Donde: C2=C1(1+g) C3=C2(1+g)=C1(1+g)2 Ct=C1(1+g)t-1 C1 8 C2 Ct Entonces: (sup r>g) IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Equivalencias Financieras VF t: tiempo n Factor de actualización o valor presente Factor de capitalización o cantidad compuesta VA = VF[1/(1+r)n] VF = VA[(1+r)n] VA t n IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Equivalencias Financieras t: tiempo 1 2 n Factor de valor presente Factor de recuperación de capital VA t n IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Equivalencias Financieras t: tiempo 1 2 n Factor de fondo de amortización Factor de cantidad compuesta VF t n IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ejemplo 1: Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF3.600. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor, a 10 años plazo, con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? Primero, calculamos la tasa de interés mensual: rm = (1+ra)(1/12) -1 = (1+0,08)(1/12) -1 = 0,0064 = 0,64% mensual El monto del crédito será 0,75 x UF3.600 = UF2.700 El dividendo mensual es: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ejemplo 2: Una gran tienda ofrece un nuevo modelo de televisor. El precio contado es de $165.990. La tienda ofrece un crédito en 12 cuotas de $17.687 cada una.¿Cuál es la tasa de interés anual implícita que cobra esta tienda? Sabemos que la relación entre las cuotas y el precio contado está dado por: Luego: Iterando hasta lograr la igualdad, llegamos a que la tasa mensual implícita es de 4%, o en términos anuales, (1+0,04)12-1 = 0,601 = 60,1% IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ejemplo 3: Una persona obtuvo un crédito de consumo de $1.300.000 a 18 meses, pagadero en cuotas iguales, con una tasa de 1,65% mensual. Calcule la cuota. En un crédito que se paga en cuotas iguales, cada cuota paga intereses y amortizaciones, en montos variables. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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Flujo de caja real v/s nominal La fórmula general para convertir flujos de caja nominales futuros en flujos de caja reales es: IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ejemplos 1. Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF3.600. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor, a 10 años plazo, con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? 2. Considere una deuda al 12% anual por un monto de 1.000 UF, a ser pagada en tres años. ¿Cuál es el valor que habría que pagar? 3. Un matrimonio joven, con un hijo que acaba de cumplir hoy 9 años, pretende ahorrar para financiar la educación universitaria del niño. Suponiendo que el niño ingresará a la universidad al cumplir los 18 años, el matrimonio estima que se requerirán 150 UF anualmente para cubrir todos los gastos de la educación durante 5 años. Si la tasa de interés real para los depósitos es de 6% anual, determine el ahorro anual que debe realizar esta familia hasta el momento de matricular al hijo en la universidad. (Nota: suponga que esta familia hará el primer depósito apenas Ud. le entregue el resultado y que realizará todos los depósitos una vez al año, al comenzar el año. De igual forma, esta familia cancelará todos los gastos de la universidad al comenzar el año) IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Ejemplos 4. Una empresaria necesita para las actividades de su negocio un furgón. Para obtenerlo tiene dos alternativas: Comprarlo: a un precio de $6.500.000. Al cabo de 5 años, podría venderlo a un precio de $2.000.000 Arrendarlo, en cuotas mensuales de $100.000. El furgón tiene una vida útil de 5 años. La tasa de descuento es 1% mensual. (No considere depreciación) ¿cuál alternativa le conviene más? 5. Un ingeniero recibe por un trabajo US$10.000, el que decide invertirlo en certificados del gobierno a 15 años, los cuales tienen una tasa de 8% anual. Si la inflación permanece con una tasa de 6%, ¿cuál es el valor final de su inversión? IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Tasas spots La tasa spot rt es la tasa de interés expresada en términos anuales, aplicada al dinero mantenido desde hoy (t=0) hasta el período t. Si r2 es la tasa de interés, anual, pagada a dos años, el factor de descuento es 1/(1+r2)2 Ejemplo 1: Valorización de un único pago de $10 en 3 años. Ejemplo 2: Valorización de un bono con cupones anuales de $10 por año con un pago de 100 al final. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Introducción a las curvas cero cupón Supuesto de una tasa única no refleja las condiciones de mercado. El costo de oportunidad del dinero a diferentes plazos viene dado por las “Curvas Cero Cupón” tasa tiempo r3 r1 r2 t1 t2 t3 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Introducción a las curvas cero cupón Valorización por costo de oportunidad Flujos 150 180 210 240 30 60 90 120 tasa tiempo Curva Cero Cupón IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Estructura de tasas Tasas de interés cambian de acuerdo a los plazos. La estructura de tasas refleja, para un momento determinado del tiempo, el costo de oportunidad del inversionista, a diferentes plazos. La estructura de tasas es la herramienta fundamental de valoración de instrumentos financieros. Se puede representar como: Curva Cupón Cero Curva de Rendimientos (Yield Curve) Curva de Factores de Descuento Además, combinaciones de curvas de interés pueden generar curvas de monedas, curvas de tasas forwards, etc. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

El caso de las tasas de interés TIR medias papeles en UF, Bolsa de Comercio IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Estructura de Tasas y el riesgo de tasas IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Tasas Forwards Dos maneras de invertir $1 en un período de 2 años: Invertir hoy $1 a dos años a una tasa anual de r2: VF = (1+r2)2 Invertir hoy $1 a un año a una tasa anual de r1, y lo obtenido prestarlo hoy a una tasa f (anual ) por un año a partir del fin del primer año: VF = (1+r1)(1+f) Si ambas están disponibles (y tienen riesgos similares) entonces debieran rentar lo mismo: VF r2 r2 VP VP 1 2 VF r1 f VP 1 2 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Tasas forwards y sus plazos Las tasas forwards tienen, para una fecha inicial determinada (hoy) una fecha inicial y otra final. Equivalentemente, tienen una fecha inicial y un plazo: f(t1, t1 + t) Podemos entonces hablar de forwards de 1 año, (t=360 días) o forwards de 6 meses o forwards de 3 meses…o forwards de 1 día. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS Tasas spots y forward Las tasas spots r1, r2,.....rt contienen tasas forward bien definidas. 1 2 3 4 r1 f2 r2 f3 r3 f4 r4 Cada tasa forward dura 1 período aunque podemos pensar también en tasas forward de mayor plazo. Las tasas forward pueden ser aseguradas invirtiendo con mayores períodos de maduración. Las actuales tasas spots futuras r2, r3 etc. diferirán de las correspondientes tasas forward actuales. IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Tasas spots y forward – Ejemplo 1 Cuáles son las tasas forward implícitas en las siguientes tasas spot? r1 = 0.04 r2 = 0.05 r3 = 0.055 (1+r2)2 = (1+r1)(1+f2) (1.05)2 = (1.04)(1+f2), entonces f2 = 0.0601 (1+r3)3 = (1+r2)2(1+f3) (1.055)3 = (1.05)2(1+f3), entonces f3 = 0.06507 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Tasas spots y forward – Ejemplo 2 Ud. Recibirá $1 millón de dólares en un año más, y quiere asegurar que podrá invertir en el año 1 el millón de dólares a la tasa forward actual. r1 = 5%; r2 = 7% El retorno en los dos períodos es: 1.072 = 14.5% La tasa forward la calculamos haciendo: (1.05)(1+f2)=1.145  f2 = 9.04% Transacciones: Tiempo 0: Solicitar un préstamo por 0.9524 por 1 año (5%) Tiempo 0: Invertir 0.9524 por 2 años (7%) 1.0904 -1.0 Neto -0.9524 Inversión por 2 años 0.9524 Préstamo por 1 año T=2 T=1 T=0 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Tasas spots y forward – Ejemplo 2 (Cont) Suponga ahora que quiere poder asegurar un préstamo a partir del año 1 pero a la tasa forward actual. Como lo haría? -1.0904 +1.0 Neto 1.0 -0.9524 Inversión de 0.9524 por 1 año 0.9524 Préstamo de 0.9524 por 2 años T=2 T=1 T=0 Desafortunadamente el banco insiste que ud. pague intereses a una tasa fija anual por el préstamo a 2 años. Cómo podría ud. Asegurar la tasa forward para un préstamo en el año 1? IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Tasas spots y forward – Ejemplo 2 (Cont) Calcular el retorno requerido en un préstamo a dos años. Entonces el pago al banco es de 1.0693 por cada peso de crédito solicitado hoy. Queremos que el pago final sea de 1.0904, entonces hay que pedir un préstamo hoy por 1.0904/1.0693 = 1.0197 e invertir los ingresos por un solo período. -1.0904 +1.0 Neto 1.0707 = 1.05 * 1.0197 -1.0197 Inversión de 1.0197 por 1 año a 5% =1.0693 * 1.0197 -0.0707 =6.93% * 1.0197 1.0197 Préstamo de 1.0197 por 2 años a y=6.93% T=2 T=1 T=0 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Principio básico de no arbitraje Ejemplo, bono A: Bono B: Bono C: 10 10 PA 10 PB 10 PC Qué ocurre si PB + PC > PA IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Medición de la estructura temporal En equilibrio, TODOS los bonos del gobierno son valorizados por el mercado usando las MISMAS tasas spots. A, B, C son suficientes para calcular r1, r2 y r3 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Medición de la estructura temporal – Ejemplo I 1080 80 1069.23 Z 1050 50 1000.46 Y 1038.5 X C3 C2 C1 Precio Bono Solución: Suponer que el valor par es $1000 IN3301 – EVALUACIÓN DE PROYECTOS