INTEGRALES U.D. 8 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

INTEGRAL DEFINIDA U.D. 8.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo previo 1 Velocidad = f (Tiempo) Velocidad Área bajo la curva = Espacio recorrido por el móvil Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo previo 2 Potencia = f (Tiempo) Potencia Área bajo la curva = Energía consumida Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo previo 3 Indice de natalidad = f (Tiempo) 1 Indice de mortalidad = f (Tiempo) Área entre las curvas = Aumento de población Tiempo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA DE LA MEDIA Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] , entonces existe un punto c perteneciente al intervalo (a , b) tal que: b ∫ f(x) dx = f(c). (b – a) a El valor f(x) se denomina altura media o valor medio de la función en el intervalo [a , b], y puede venir determinado por varios puntos. Si f(x ) es integrable en [a,b], la función t F(t) = ∫ f(x) dx , con t perteneciente a [a,b] Recibe el nombre de función integral a c b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA DE LA MEDIA 0,5 2 3,5 x EJEMPLO Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5 , 3`5] , entonces existe un punto c=2 perteneciente al intervalo (0’5 , 3’5) tal que: 3,5 ∫ f(x) dx = f(2). (3’5 – 0,5) 0,5 Hallamos f(2): f(2)= (1/3).2 + 4/3 = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2 El área que se origina entre f(x), x=0’5, x=3,5 y el eje de las x ( un trapecio rectángulo) es, según el Teorema de la Media: A = f(2).(3,5 – 0,5) = 2.2 = 4 u2 Al ser un trapecio lo podemos comprobar: A=(B+b).h/2 = (2’5+1’5).2 / 2 = 2,5+1,5 = 4 f(x)=(1/3).x+4/3 0,5 2 3,5 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. Y f(x) F(x) 0 a b X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA FUNDAMENTAL EJEMPLO Sea f(x) = (1/3).x + 4/3 una función continua en un intervalo [0’5 , 3`5] , entonces existe una función y = F(x) que nos da en todo momento el área entre f(x) y el eje de abscisas, y tal que: F(x) es derivable y cumple F’(x) = f(x) F(x) será una primitiva de f(x) y tal que: F(x)= ∫ f(x) dx = ∫ [(1/3).x + 4/3]dx = = (1/3).∫ xdx + (4/3).∫ dx = = (1/3).x2 / 2 + (4/3).x + C F(x) es la llamada función integral. F(x) = (1/6).x2 + (4/3).x f(x)=(1/3).x+4/3 y = F(x) 0,5 2 3,5 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Regla de BARROW Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y supongamos obtenida una primitiva y = F(x) de dicha función. El área que alberga y=f(x) con el eje de abscisas y las coordenadas x= a , x=b, es : Área = F(b) - F(a) Es decir: b b ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ] a a EJEMPLO 1 5 3 4 5 4 4 ∫ 4 .x dx = F(5) - F(2) = [ x ] = 5 - 2 = 625 – 16 = 609 u2. 2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Regla de BARROW EJEMPLO 2 π π π π ∫ cos x dx = F(π ) - F(0) = [ sen x ] = sen π – sen 0 = 1 – 0 = 1 u2. 0 0 EJEMPLO 3 2 x x 2 2 1 ∫ e dx = F(2) - F(1) = [ e ] = e – e = 7,3890 – 2,7182 = 4,6708 u2. 1 1 EJEMPLO 4 5 5 ∫ (1/x) dx = F(5) - F(2) = [ ln x ] = ln 5 – ln 1 = 1,6094 – 0 = 1,6094 u2. 1 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL D. 1.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y a < c < b Se cumple: b c b ∫ f(x) dx = ∫ f(x) + ∫ f(x) a a c 2.- Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] b b b ∫ [ f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx a a a 3.- Sea f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y ‘k’ un nº real. b b ∫ k. f(x) dx = k . ∫ f(x) dx a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA DE BOLZANO y Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es: Continua en [a, b] Toma valores de distinto signo en a y en b Entonces: Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0 El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por ejemplo, para calcular áreas mediante integración de funciones que cumplen con las premisas del Teorema de Bolzano f(b) >0 y=f(x) f(c) =0 x a c b f(a) <0 Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna de las raíces no era entera. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.