Teoría Económica de Recursos No Renovables Tutor: Enrique Rubio erubio@ing.uchile.cl Auxiliares: Fernando Peirano fpeirano@gmail.com, Marcelo Vargas vargas.v.marcelo@gmail.com

Modelo de Beneficio Económico Suponga una función de beneficio del tipo: Ritmo de producción de metal en periodo t Precio del producto en periodo t Costo de producción como función de la cantidad producida

Modelo Económico Simple Se simplifican las restricciones para realizar la extracción total La utilidad marginal descontada debe ser constante a través de la vida del proyecto sa

Teoría de Hotelling Si existe mercado para solamente comercializar qt Mercado de competencia perfecta No existe asimetría ni de información ni tecnológica La extracción mineral para que sea óptima debe generar un perfil de precios que aumente en valor absoluto en la misma tasa que la tasa de descuento utilizada en la industria

Modelo a Optimizar Si se desea optimizar el valor presente neto del proyecto o plan de producción sa Factor de actualización de los flujos obtenidos en el periodo t Recursos Remanentes en el periodo t

Solución Supuestos Langrangiano Conocida la envolvente de reserva base inicial Es un parámetro en la optimización y no una variable

Solución del Langrangiano El valor óptimo de producción se produce cuando la utilidad marginal Es igual al costo marginal más un costo de depreciación del activo mineral

Definición de Mineral Mineral es todo aquel porción de un yacimiento minero que paga sus costos de producción y el costo de oportunidad Definición económica Si embargo se debe diseñar con una envolvente económica que pudiese contener material estéril en su interior Roca de Caja Cuerpo Mineralizado o Mena

Definición Criterio optimizante que pretende incorporar el costo de oportunidad tanto en la definición de la envolvente económica como en la definición de mineral en el tiempo

Enlazando la Teoría de Lane El óptimo de producción se produce en el punto donde la estrategia de producción paga los costos marginales y de oportunidad

Ley de corte marginal P Lc P Lc

Parámetros formulación algoritmo de Lane x, proporción de mineral con respecto al material removido Flujo de caja

Formulación algoritmo de Lane x, proporción de mineral con respecto al material removido x, t C, flujo de caja Flujo de caja (1) Valor Presente V Valor Remanente W Sea V el valor máximo de los flujos de caja actualizado. W el valor máximo de los flujos de caja actualizados después de extraer Q (2) Si t es pequeño, entonces (3)

Formulación algoritmo de Lane Incremento marginal del VAN 3 en 2 (4) Incremento marginal del VAN 4 en1 Lo anterior representa el incremento marginal del VAN que conduce a maximizarlo siguiendo una estrategia determinada El parámetro dV representa el costo de oportunidad de postergar los flujos de caja futuros en el periodo t. Integrando el valor del dinero en el tiempo La formula anterior sin embargo considera un escenario económico constante en el tiempo

Formulación algoritmo de Lane Incorporando las condiciones variables del mercado en la formula anterior F: corresponde al costo de oportunidad. Este costo se compone de dos partes El costo de asignar capital a un bien en vez de invertir en un bien alternativo (dV) La variación de valor de este bien debido a condiciones variables en el mercado (-dV/dT)

Resolución de la formulación anterior El valor óptimo del VAN (V) es función de la ley de corte La ley de corte a través de v es función del valor óptimo del VAN (V) La manera de resolver este problema es a través de múltiples iteraciones asumiendo un valor V=0, en la primera iteración

Datos Costo mina 1.32$/t Costo planta 3.41 $/t Capacidad de mina 12 millones toneladas al año Capacidad de tratamiento 3.9 millones toneladas al año Capacidad de venta 900 toneladas al año Costos fijos 11.9 millones al año Precio 60$/kg Recuperación 87% Costo de oportunidad 15.2 millones

Ley de corte una capacidad máxima mina

Ley de corte una capacidad máxima planta

Ley de corte una capacidad máxima mercado

Rajo Subterránea Tomar en consideración que cuando se trata de una mina subterránea todo el costo de mina es considerado proceso ya que cada tonelada extraída se procesa por lo tanto h incluye el costo de mina

Ejemplo de aplicación Una mina mediana Plomo-Zinc con una capacidad de planta de 1.3 millones de toneladas/año El cuerpo mineralizado es potente, semi vertical y consistente en la corrida por varios kilómetros Método de explotación Sub Level Caving El valor de plomo es secundario y se convierte la ley de plomo a Zinc dividiendo por 2 Ley media Zinc equivalente 14% Las recursos son estimadas de esta manera y el control se realiza basada solamente utilizando Zinc equivalente La dilución es del orden del 15% y la recuperación minera del orden del 88%

Ejemplo de aplicación Existen dos tipos de leyes de corte Aplicada a las paredes del caserón HW, FW. Define el material a perforar Aplicada en el punto de extracción definiendo el punto de extracción óptimo El potencial valor del proyecto es 150M$, utilizando una tasa de descuento 15% antes de impuestos

Datos necesarios

Resolución Tonelaje modelado debe ser corregido por 1.15 y la ley por 0.88/1.15=0.77 de modo de simular la situación en la mina Sobre estos valores se deben calcular las leyes de corte

Resolución Cálculo de F para precios constantes El cálculo de la ley de corte para una capacidad de planta fija El cálculo de la ley de corte para HW y FW

Resolución Ley de corte en los puntos de extracción. Perforación y tronadura es un costo incurrido Los valores de leyes de corte son altos producto que el valor residual (150M$) es alto, es decir, la oportunidad es alta. Si estuviésemos al fin de la vida de la mina

Resolución Mas aún si la planta está ociosa la ley de corte a utilizar es aquella limitada por la capacidad de la mina Efecto del cambio de condiciones económicas o del mercado. Supongamos que el precio del concentrado disminuye a 650 $. El cambio de utilidad anual producto de la caída del precio es

Resolución Valor presente del depósito a 650$ Valor presente al esperar un año para partir la explotación es 150 M$. Entonces La ley de corte de los puntos de extracción es ahora Producto de la baja de precios, la ley de corte debe bajar de modo de ser consecuente con el modelo económico

Política de Leyes de Corte

Método iterativo para la optimización del VAN Abrir nuevos recursos Calcular reservas utilizando leyes de corte Cerrar reservas que no pagan ley de corte Simular la extracción del periodo Calcular el valor remanente del depósito Pasar al próximo periodo del plan Al final calcular vector de costos de oportunidad Adherir costos de oportunidad a la estructura de costos Repetir el programa de producción Closed dpts Active T, $ t, $, gi Remaining Value Vi New

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 4

Extracción de recursos basados en políticas de leyes de corte

Costo de oportunidad para distintas iteraciones

Programas de producción resultantes Múltiples iteraciones y su influencia en el programa de producción

Incorporación del componente dV/dT Evalúa recursos remanentes utilizando precios del periodo t+1

Efecto de variación de precios en una política de leyes de corte

Ejercicios Suponga que la función de costo está dad por Y el precio está dado por Obtenga una relación para el costo de oportunidad en el tiempo. Explique