MODELOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ANALISIS DE COVARIANZA

Contenido Introducción Objetivos del análisis de covarianza Suposiciones básicas para el análisis de covarianza Modelos y análisis de covarianza Cómo hacer el análisis de covarianza Ejemplos Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Introducción El análisis de covarianza es una de las técnicas usadas para reducir el error experimental, y con ello poder detectar diferencias entre tratamientos. Y resulta ser una combinación entre el ANOVA y el análisis de regresión. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Introducción Es frecuente encontrar que al realizar experimentos, los resultados de una característica determinada (variable estudiada Y) se vean afectados por la variación en otra de las características (X), la cual se puede medir, pero no se puede controlar experimentalmente. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Introducción Una covariable (X) es una medición o característica de cada unidad experimental, la cual se supone independiente de los tratamientos, y se conoce que está relacionada con la medición de interés (Y). Cuando varía X, se espera un cambio o variación de Y; este cambio afectará el efecto de los tratamientos sobre Y. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Objetivos del análisis de covarianza Los usos mas frecuentes del análisis de covarianza son: Para aumentar la precisión de los experimentos. Para remover el efecto de variables que afectan estudios observacionales. Para dar mayor información sobre la naturaleza de los tratamientos. Para ajustar regresiones en modelos de clasificación múltiple. Para corregir por observaciones perdidas. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Objetivos del análisis de covarianza Aumento de precisión de los experimentos. Cuando el error experimental se reduce, se logra un aumento en la precisión del experimento. Esto sucederá si la correlación entre X y Y es mayor que 0.3 aproximadamente. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Objetivos del análisis de covarianza Remoción del efecto de variables adicionales que afectan la respuesta de interés. En un estudio, se compararon 7 variedades de frijol tépari con relación a su contenido en hierro soluble. El contenido de hierro soluble depende del hierro total presente, así como de la presencia de factores inhibidores, tales como los fosfatos. Mediante un análisis de covarianza se puede estimar, si las variedades cambian en el contenido de hierro soluble, o el cambio en hierro soluble se debe a las diferentes concentraciones de inhibidores, como los fosfatos. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Objetivos del análisis de covarianza Obtener mayor información sobre la naturaleza de los tratamientos. Si las diferencias entre tratamientos desaparecen después de ajustar por covarianza, o si cambian de algún modo, esto sugerirá al investigador que las diferencias entre tratamientos pueden proceder de las diferencias entre los promedios de X, no de las diferencias en respuesta (Y). Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Objetivos del análisis de covarianza Ajuste de regresiones en modelos de clasificación múltiple. El análisis de covarianza nos puede servir para conocer si las pendientes de regresión de diferentes factores son homogéneas (paralelas). Corrección por observaciones perdidas. El Andecova permite ajustar las sumas de cuadrados del Andeva por observaciones perdidas en el caso de diseños en bloques al azar o en cuadro latino. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

MODELO DE COVARIANZA El modelo lineal para el análisis de covarianza, dependerá del diseño experimental empleado, de la estructura de los tratamientos y del número de covariables considerado. El caso más sencillo es el de un diseño Completamente al Azar, con r repeticiones por tratamiento, con una estructura de tratamientos simple, de t tratamientos, y con una covariable (X). Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

MODELO DE COVARIANZA i=1,2,...,n ; j=1,2,...r. Donde: Yij : Observación ij-ésima de la variable respuesta Y μ : Promedio general de Y i : Efecto del tratamiento i-ésimo ß : Coeficiente de regresión entre X y Y Xij : Observación ij-ésima de la covariable X XM: Promedio general de la covariable X εij : Error aleatorio de la observación ij-ésima. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

SUPOSICIONES BASICAS Las suposiciones básicas del modelo son: 1. El modelo es el verdadero, lineal en sus parámetros. 2. La covariable está medida sin error. 3. La relación entre la variable respuesta (Y), y la covariable (X), no cambia con los tratamientos. 4. La variable Y tiene distribución aproximadamente normal 5. Los errores aleatorios son independientes, con media igual a 0 y varianza σ2 (error). Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

SUPOSICIONES BASICAS La suposición que hay que confirmar generalmente es la tercera, ya que si los tratamientos afectan la relación entre X y Y, el modelo de covarianza no es el adecuado. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

CALCULO DEL ANDECOVA El análisis de covarianza se hará siguiendo los siguientes pasos: 1. Agrupe los datos según se puede ver en el Cuadro 1. 2. Calcule las Sumas de Cuadrados para Y y para X como si fueran dos análisis de varianza separados. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Eyy=Syy-Tyy Exx=Sxx-Txx Exy=Sxy-Txy

CALCULO DEL ANDECOVA cuadro No. 1 REP Trat. 1 Trat.1 Trat. 2 Trat 2 . Trat t Trat. t 1 X11 Y11 X21 Y21 Y 2 X12 Y12 X22 Y22 Xt2 Yt2 r X1r Y1r X2r Y2r Xtr Ytr Subt. Trat X1. Y1. X2. Y2. Xt. Yt. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

CALCULO DEL ANDECOVA Syy : Suma de Cuadrados Total de Y. Use la siguiente notación para ordenar sus cálculos: Syy : Suma de Cuadrados Total de Y. Sxx : Suma de Cuadrados Total de X. Sxy : Suma de Productos Cruzados Total de X por Y. Tryy : Suma de Cuadrados de Tratamientos de Y. Trxx : Suma de Cuadrados de Tratamientos de X. Trxy: Suma de Productos Cruzados de Tratamientos. Eyy : Suma de Cuadrados del Error de Y. Exx : Suma de Cuadrados del Error de X. Exy : Suma de Productos Cruzados del Error.

Los estimadores por mínimos cuadrados de regresión La suma de cuadrados del

Los estimadores por mínimos cuadrados de regresión La suma de cuadrados del error es: Con t(n-1)-1 grados de libertad

Supongamos que no hay efecto del tratamiento entonces el modelo queda reducido a : La suma de cuadrados del error en el modelo reducido queda como: con t(n-2) grados de libertad cantidad es la reducción de la suma de cuadrados de y.

obtenida por la regresión lineal de y en x. Además, SCE ≤ SCE* porque el modelo completo incluye los parámetros adicionales Asi, SCE*- SCE es una reducción en la suma de cuadrados debido a los términos de . De esta manera a partir de SCE*- SCE se tiene una suma de cuadrados con (t-1) grados de libertad para contrastar la hipótesis que no hay efectos de los tratamientos: Ho : = 0 par todo i

Se calcula Que, si la hipótesis nula es cierta, se distribuye como una F de Snedecor : F(t-1),t(n-1)-1 De modo que se rechaza Ho al nivel de alfa si Fo es mayor que F(t-1),t(n-1)-1 Obteniéndose la siguiente tabla:

CALCULO DEL ANDECOVA Fuente Gl Suma de Cuadrados XX XY YY Tratam. t-1 TrXX TrXY TrYY Error t(n-1) EXX EXY EYY Suma   TrXX + EXX TrXY + EXY TrYY + EYY Total tn-1  SXX SXY SYY

CALCULO DEL ANDECOVA Haga los siguientes cálculos: SCEC = EYY - EXY2/EXX SCTC = (TRYY+EYY) - (TRXY+EXY)2/(TRXX+EXX)] SCTRC = SCTC -SCEC Arme el cuadro final de ANDECOVA como sigue:

CALCULO DEL ANDECOVA FUENTE GL SC CM F TRAT t-1 SCTRC CMTRC CMTRC/CMEC REGRESION 1 (EXY)^2/EXX CMREG CMREG/CMEC ERROR t(r-1)-1 SCEC CMEC .

PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA Las pruebas de hipótesis de interés son dos: a. No existe regresión entre X y Y, o sea Ho: ß =0. Esta hipótesis se prueba con el estadístico F = CMREG /CMEC. Si F es mayor que Fα,{1,(t(r-1)-1)}, entonces la regresión entre X y Y es significativa, y el análisis de covarianza probará ser eficiente. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

PRUEBAS DE HIPOTESIS EN ANDECOVA b. Hay diferencias entre tratamientos: Ho: τ1=τ2=...=τt Esta hipótesis se probará con el estadístico F = CMTRC/CMEC. Si F es mayor que Fα,{(t-1),[t(r-1)-1]}, las diferencias entre tratamientos serán significativas. Comience la presentación con un caso que despierte interés. Elija un caso que tenga alguna relación con la audiencia. El caso que describa será la prueba que respaldará el plan de acción y demostrará la posibilidad de que se produzca el beneficio. Empezar la presentación con un caso sugerente le permitirá preparar a la audiencia para las acciones que recomendará más adelante.

Ejemplo Se considera un estudio para determinar si existe diferencia en la resistencia de una fibra producida por tres equipos diferentes. Se piensa que el grosor de las fibras (x) influye también, obteniéndose los siguientes datos

Se trata de eliminar el grosor x en la resistencia de las fibras para poder comparar el efecto de los tres laboratorios. Solución Obtención de la suma de cuadrados

Eyy= Syy - Tyy =206 Exx = Sxx -TXX = 195.6 EXY = Sxy - Txy =186.6 Por lo tanto Con (tn-1)-1 =3*5-2 =13 grados de libertad y

SCE=EYY - (Exx^2//Exx)= 206- (186.62/195.6)= 27.99 Con t(n-1)-1= 3(5-1)-1 =11 grados de libertad. SCE*- SCE = 41.27-27.9=13.28 Con t-1 = 3-1 =2 grados de libertad Asi se calcula

Para α=0.1 Fo =2.61 es menor que F2,11,0.1 =2.86 Por lo tanto se acepta Ho los tratamientos no son diferentemente significativos es decir los laboratorios producen igualmente respecto a la resistencia de la fibra.

Para el coeficiente de regresión: Para contrastar la hipótesis Ho : β= 0 se usa el estadístico

Como F1,11,0.1=9.65 es menor que 70.08 entonces se rechaza Ho : β=0 a nivel del 10% con lo cual la corrección mediante el análisis de covarianza es necesario. ==================

EJEMPLO En un experimento se compararon 10 variedades de habas por su contenido en ácido ascórbico (en microgramos por gramo de muestra). Por experiencias previas se sabe que el grado de madurez afecta el contenido de ácido ascórbico. Se midió el porcentaje de materia seca, como un índice indirecto del grado de madurez.

solucion Para poder comparar las diferentes variedades hay que realizar un análisis de covarianza de estos datos, de forma de corregir el contenido de AA por el grado de madurez de las plantas. La relación entre la materia seca y el ácido ascórbico es inversa, o sea, a mayor % de materia seca, menor contenido de AA.

Ejemplo

EJEMPLO 2 El diseño experimental empleado fue de bloques completos al azar, con 10 variedades y tres repeticiones. El modelo propuesto para el análisis es: 

Se verá el ejemplo usando el JMP.