Otro paradigma de modelación: maximización de la entropía MME de variables totales (MMET) Deducción del modelo: Enfoque combinatorial Aplicación a modelo de distribución de viajes Métodos numéricos para calibrar estos modelos y predecir con ellos MME de variables de probabilidad (MMEP) Deducción del modelo: Enfoque del valor de la información Equivalencia de MMET y MMEP Equivalencia de MMEP y Modelo Logit Multinomial

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Conocimiento del estado del sistema Macroestado: Condiciones sobre mesoestado Ej: Conocerlo según sus categorías Sistema: Conjunto de viajes SÍ Categoría: Par OD Mesoestado: Número de elementos por categoría (Tij) ¿? Microestado: Categoría a la cual pertenece el elemento (Par OD del viaje) Elemento: viaje NO

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Cómo nace un mesoestado? ¿De cuántas formas posibles se puede formar un mesoestado? Wilson (1971) demostró que: T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 “Cada elemento (viaje) tiene igual probabilidad de pertenecer a cada una de las categorías (Par OD)” “Todos los microestados son equiprobables”

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Cómo selecciono entre dos sistemas con el mismo macroestado? T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 T1 = 1 T2 = 4 T3 = 5

Modelo de maximización de la entropía (MMET) “Es más probable que ocurra aquel mesoestado con un número mayor de formas posibles de generarse” T1 = 3 T2 = 5 T3 = 2 T1 = 1 T2 = 4 T3 = 5

Modelo de maximización de la entropía (MMET) El número de formas posibles de generar un mesoestado (Ti)i, bajo el supuesto de microestados equiprobables es: El objetivo es encontrar el mesoestado {Ti} que maximiza W

Modelo de maximización de la entropía (MMET) equivale a Aproximación de Stirling

Modelo de maximización de la entropía (MMET)

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Se formula el siguiente problema de Maximización: equivale a Entropía Macroestado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Características de la Entropía: La Entropía es una función no lineal cóncava:

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Resolución del problema anterior

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Resolución del problema anterior ¡Constante!

Modelo de maximización de la entropía (MMET) ¿Y si se considera más información en el macroestado? Macroestado Es un problema de optimización con restricciones de igualdad El número de variables de estado (Ti) habitualmente es muy grande La función objetivo es no lineal y cóncava Las restricciones son lineales Si las restricciones son factibles, existe solución única

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Sistema de ecuaciones no lineales que determinan

Modelo de maximización de la entropía (MMET) “el criterio de maximizar la entropía define mesoestados distribuidos uniformemente a menos que los macroestados se lo impidan” ignorancia conocimiento

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Observaciones 1.- Leve cambio en la Entropía

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Observaciones 2.- Si algunas restricciones implican la restricción equivale a Donde es solución del sistema de ecuaciones no lineales (*) con lo cual

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelos de distribución espacial de viajes con restricción de costo Modelo de entropía simplemente acotado en el origen Modelo de entropía simplemente acotado en el destino Modelo de entropía doblemente acotado

Depende de todos los destinos tiene que ver con el beneficio de visitar y con los costos ponderados por β Depende de todos los orígenes tiene que ver con la posibilidad de ser visitado y los costos ponderados por β cij : costo generalizado de transporte entre i y j. Valor único para el par ij, debe tomar en cuenta todos los modos disponibles. Recordar discusión Modelo gravitacional Esperanza del mínimo costo

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado entonces

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado (a,b) = F(β,a,b) Ecuación vectorial no lineal de Punto Fijo en a y b para un β dado G(β,a,b) = 0 Ecuación unidimensional no lineal en β para un a y b dado La función g es decreciente en β e interesa encontrar una raíz de ella para un a y b dado

Incorporación de información adicional En general esto se hace mediante restricciones, excepto para: Matriz a priori Se modifica la función objetivo  Discutir

Incorporación de información adicional Conteos de flujo A través de los pija  ver caso general con W” y conteos de flujo Placa parcial Estimaciones de algunas celdas

Calibración del Modelo de maximización de la entropía (MMET) Calibración: Buscar los parámetros que aseguran que las predicciones se parecen a la matriz observada. Validación: chequear que las predicciones son buenas en un caso controlado. Ai, Bj se estiman como parte del proceso de balanceo biproporcional (Furness) β debe ser calibrado de forma tal que la distribución de longitudes de viaje se reproduce tan cercanamente como sea posible  β*

Calibración del Modelo de maximización de la entropía Modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado: Solución mediante el método de Hyman Conocido T(β) modelado observado

Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969) m=0 β0=1/c* Calcular la matriz predicha con ese b  βm=β0 c0 /c* m=m+1 calcular la matriz con βm-1 Cm-1 ? C*  si son parecidos, parar Si no, ir al paso 4 Mejorar estimación de β

Calibración del Modelo de maximización de la entropía: método de Hyman (1969) 4. Mejorar estimación de β 5. Repetir hasta que modelado observado

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Métodos de calibración: Método de Newton Problema: Encontrar que resuelva la ecuación: donde Se resuelve esta ecuación, reemplazando a la función f por una aproximación lineal de ella en una vecindad de un punto x(0): con lo cual:

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado tiene por solución Podemos estimar con la información observada de ¿Cómo estimar para un corte temporal t futuro?

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Los modelos de generación y atracción permiten estimar y con ello calcular Los modelos de utilidad permiten estimar No podemos calcular βt cuando Ct no lo podemos estimar

Modelo de maximización de la entropía (MMET) Aplicación del modelo de distribución espacial de viajes doblemente acotado Cuando Ct no es posible estimar se propone la siguiente solución: Los parámetros se determinan imponiendo las restricciones: se calculan fácilmente por Punto Fijo

Entropía como probabilidad conocimiento ignorancia “el criterio de maximizar la entropía define una distribución de probabilidad uniforme a menos que restricciones se lo impidan”. “Si las restricciones son lineales, entonces la distribución de probabilidad es Logit Multinomial”

EQUIVALENCIA ENTRE MMET Y MMEP Si se introduce el cambio de variable: el problema es equivalente a:

Generalización de resultado publicado: Discrete Choice Theory, Information Theory and The Multinomial Logit and Gravity Models Alex Anas Transportation Research B Vol 17B, N°1, pp. 13-23. 1981

EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS LOGIT MULTINOMIAL Y EL DE MAXIM EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS LOGIT MULTINOMIAL Y EL DE MAXIM. DE LA ENTROPÍA MMEP PMVLogit donde PME

Consideraciones prácticas Iformación: Matriz a priori Oi, Dj Conteos de flujo Estructura de costos Balance: matriz a priori – estructura de costos

Consideraciones prácticas Matrices incompletas Presencia de ceros en matriz a priori puede hacer infactible el problema Ejemplo: 1 2 3 4 Σ Target Oi 5 50 100 200 355 400 460 255 250 20 570 702 155 320 1230 Target Dj 260 500 802 1962 Fuente: Ortúzar y Willumsen, 1994

10 iteraciones Furness 1 2 3 4 Σ Target Oi 3.4 0.7 61.0 355.3 420 400 388.2 388 460 65.5 2.8 5.9 345.7 191.2 8.3 433.1 101.0 734 702 155 355 320 1230 Target Dj 260 500 802 1962 Poniendo 1 viaje en matriz a priori en celda 2-4, 10 iteraciones furness 1 2 3 4 Σ Target Oi 4.1 4.5 76.2 315.4 400 339.2 119.1 458 460 77.3 17.0 7.2 298.5 178.6 39.3 416.6 68.9 703 702 155 355 320 1230 Target Dj 260 500 802 1962 Fuente: Ortúzar y Willumsen, 1994

Consideraciones prácticas Modelo tripoporcional Reproduce Oi Reproduce Dj Reproduce estructura de costos (TLD) > tan cerca como sea posible a la matriz a priori Matrices parciales Llenar parte de la matriz con datos de conteos, el resto con gravitacional Matrices poco densas “sembrar”

Consideraciones prácticas Zonas externas Viajes E-E E-I (modelar exógenamente, restar E-I de los Dj) Viajes intrazonales ¿costo? Viajes asociados a centroides. ¿asignación a la red? Segmentación por motivo Trabajo  doblemente acotado Otros  ? β costo igual para todos los motivos?

Consideraciones prácticas Segmentación por tipo de usuario Generación-atracción / origen/destino punta mañana/fuera de punta/punta tarde Incorporación de factores kij para tratar pares específicos Errores