ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL U.D. 14 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT MEDIDAS DE DISPERSIÓN U.D. 14.7 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT MEDIDAS DE DISPERSIÓN Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media. RECORRIDO Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable. DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden ser valores negativos o positivos. La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero. DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores absolutos de todas las desviaciones de una serie. ∑ | xi - x |.fi Dm = -----------------, que da siempre un valor positivo. ∑ fi Se emplea para comparar dos series semejantes. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT VARIANZA Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. ∑ [ (xi - x )2 . fi ] ∑ xi2. fi V = ------------------------ = ----------- -- x2 ∑ fi ∑ fi DESVIACIÓN TÍPICA Es la raíz cuadrada de la varianza. s = √V Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética. CV = s / x , que suele darse en porcentajes. Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

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Apuntes Matemáticas 1º BCT Desviación Típica (σ) El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x – σ) y (x + σ), en distribuciones de una sola moda y bastante simetría. Frecuencias relativas 68 % x-σ x x+σ Modalidades ( valor de x ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Frecuencias relativas 68 % x-3σ x-2σ x-σ x x+σ x+2σ x+3σ 95 % 99 % @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Ejemplo_1 Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina. clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x|.fi fi xi 2 [9,7 , 9,8] 9,75 54 526,50 13,3974 5133,375 (9,8 , 9,9] 9,85 65 640,25 9,6265 6306,4625 (9,9 , 10] 9,95 406 4039,70 19,5286 40195,015 [10 , 10,1] 10,05 342 3437,10 17,7498 34542,855 (10,1, 10,2] 10,15 87 883,05 13,2153 8962,9575 (10,2 , 10,3] 10,25 46 471,50 11,5874 4832,875 1000 9998,10 85,1050 99973,54 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT RESOLUCIÓN EJEMPLO_3 MEDIA ∑ xi.fi 9998,10 x = ---------- = ----------- = 9,9981 ∑ fi 1000 VARIANZA ∑ xi2. fi 99973,54 V = -------------- -- x2 = -------------- -- 9,99812 = 99,9735 – 99,9620 = 0,0115 ∑ fi 1000 DESVIACIÓN TÍPICA S=√ 0,0115 = 0,1072  x – s = 9,8909 ,, x + s = 10,1053 El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9,89 y 10,10 mm COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,1072 / 9,9981 = 0,01075  1,07 % DESVIACIÓN MEDIA ∑ |xi-x|. fi 85,1050 Dm = -------------- = ------------ = 0,0851 ∑ fi 1000 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Ejemplo_2 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi.xi fi.xi2 0,10 2 0,08 8 0,20 0,02 0,30 6 0,24 24 32 1,80 0,54 0,50 9 0,36 36 17 68 4,50 2,25 0,70 5 20 22 88 3,50 2,45 0,90 3 0,12 12 25 100 2,70 2,43 1 12,70 7,69 DESVIACIÓN TIPICA S = √V =√0,0576 = 0,24 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,24 / 0,50 = 0,48 Media : 0,5 VARIANZA 7,69 V = --------- – 0,5 2 = 0,0576 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Ejemplo_3 Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2 [0 , 2] 1 15 0,075 7,50 (2 , 4] 3 50 0,250 25 65 32,50 150 450 (4 , 6] 5 75 0,375 37,50 140 70 375 1875 (6 , 8] 7 40 0,20 20 180 90 280 1960 (8 , 10] 9 0,10 10 200 100 1620 1000 5920 ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos?  40 ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos?  140 ¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos?  10 % ¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %?  75 ¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos?   0,25 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT Ejemplo_4 Valoración de un político en una encuesta. clases xi = m.c. fi hi % xi fi fi.|xi – x| fi.xi2 [0,0 , 2,5] 1,25 160 20 200 560 250 (2,5 , 5,0] 3,75 240 30 900 3375 (5,0 , 7,5] 6,25 320 40 2000 480 12500 (7,5 , 10,0] 8,75 80 10 700 6125 800 100 3800 1600 22250 ¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente?  20+30 ¿Cuántas personas lo han valorado de 7,5 a 10 puntos  80 ¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2,5 y 5 puntos?  30 % ¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %?  320 ¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos?  30 % ¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media?  160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT

Apuntes Matemáticas 1º BCT RESOLUCIÓN EJEMPLO_4 MEDIA ∑ xi.fi 3800 x = ---------- = ------- = 4,75 ∑ fi 800 VARIANZA ∑ xi2. fi 22250 V = -------------- -- x2 = ----------- -- 4,752 = 27,8125 – 22,5625 = 5,25 ∑ fi 800 DESVIACIÓN TÍPICA S=√ 5,25 = 2,29  x – s = 2,46 ,, x + s = 7,04 El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2,46 y 7,04 puntos COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,29 / 4,75 = 0,48  48 % MODA MEDIANA Mo = 6,25 Md = 5 DESVIACIÓN MEDIA ∑ |xi-x|. fi 1600 Dm = -------------- = -------- = 2 ∑ fi 800 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º BCT