Apuntes 1º Bachillerato CT CÓNICAS U.D. 13 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIONES RELATIVAS U.D. 13.3 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIÓN DE UN PUNTO P(x, y) P(x, y) P(x, y) r r r C C C PUNTO INTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es menor que el radio r. d(P, C) < r PUNTO PERTENECIENTE La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es igual al radio r. d(P, C) = r PUNTO EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es mayor que el radio r. d(P, C) > r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 1.- Hallar la posición relativa del punto P(1, 1) respecto a la circunferencia C: (x – 2)2 + (y – 3)2 – 52 = 0 Centro: C(2, 3) ,, Radio: r=5 d(P, C) = √ (1 – 2)2 + (1 – 3)2 =√5 < 5  Punto interior. 2.- Hallar la posición relativa del punto P(-3, 0) respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 5)2 – 12 = 0 Centro: C(- 4, 5) ,, Radio: r=1 d(P, C) = √ (- 3 + 4)2 + (0 – 5)2 =√26 > 1  Punto exterior. 3.- Hallar la posición relativa del punto P(a, 0) respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y + a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, -a) ,, Radio: r=a d(P, C) = √ (a – a)2 + (0 + a)2 =√ a2 = a = r  Punto perteneciente a la circunferencia.. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT POSICIÓN DE UNA RECTA s s P2 P1 s d d d C C C P1 RECTA SECANTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es menor que el radio r. d(P, s) < r RECTA TANGENTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es igual al radio r. d(P, s) = r RECTA EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s, es mayor que el radio r. d(P, s) > r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Analítica posicional Distancia de un punto a una recta Sea el punto C(k, h), el centro de la circunferencia. Sea la recta s: Ax + B.y + C = 0 Distancia: |A.k + B.h+C| D(C, s) = -------------------- √(A2+B2) POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DE LA DISTANCIA Se halla la distancia, d, de un punto C, el centro de la circunferencia, a la recta s dada. Si d > r  Recta exterior Si d = r  Recta tangente. Si d < r  Recta secante. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 4.- Hallar la posición relativa de la recta s: 3x + 4y + 5 = 0 respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 3)2 – 72 = 0 Centro: C(-4, 3) ,, k= -4, h=3 ,, Radio: r=5 |A.k + B.h+C| |3.(-4)+ 4.3+5| 5 d(C, s) = -------------------- = -------------------- = --- = 1 < r  Recta secante √(A2+B2) √(32+(-4)2) 5 5.- Hallar la posición relativa de la recta s: 12x – 5y – 65 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 25 = 0 Centro: C(0, 0) ,, k= 0, h=0 ,, Radio: r=5 |12.0 + (-5).0 – 65| 65 d(C, s) = ------------------------- = ------ = 5 = r  Recta tangente √(122+(-5)2) 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 6.- Hallar la posición relativa de la recta s: 8x + 6y + 3a = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + y2 – a2 = 0 Centro: C(a, 0) ,, k= a, h=0 ,, Radio: r=a |8.a + 6.0 + 3a| 11a d(C, s) = -------------------- = ------ = 1,1.a > a  Recta exterior a C. √(82+62) 10 7.- Hallar la posición relativa de la recta s: √2ax – √2ay + 18 = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y – a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, a) ,, k= a, h=a ,, Radio: r=a |√2a.a +(-√2a).a + 18| |√2.a2– √2.a2 +18| 18 9 d(C, s) = ------------------------------ = ------------------------- = ------- = ------ √(√2.a)2+(-√2.a)2 √4.a2 2.a a Casos: 9 < a2 ,, 9 = a2 ,, 9 > a2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Analítica posicional POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DEL SISTEMA Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y la ecuación de la circunferencia. Presenta la ventaja sobre el otro método de darnos los puntos de corte, si los hay. r: y = m.x + n C: (x – k)2 + (y – h)2 = r2 No existen soluciones reales  Recta EXTERIOR.. Hay una única solución real  Recta TANGENTE   Solución = Punto de tangencia. Hay dos soluciones reales y distintas  Recta SECANTE   Soluciones = Puntos de corte. El valor o medida del segmento secante será la distancia entre los dos puntos de corte. Dicho segmento puede ser el diámetro de la circunferencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 8.- Hallar la posición relativa de la recta s: x + 4y – 5 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 3x – 10 = 0 Resolvemos el sistema: x + 4y – 5 = 0  x = 5 – 4y x2 + y2 – 3x – 10 = 0 (5 – 4y)2 + y2 – 3(5 – 4y) – 10 = 0 25 – 40y + 16y2 + y2 – 15 + 12y – 10 = 0 17y2 – 28y = 0  y.(17y – 28) = 0 Solución: y1 = 0 ,, y2 = 28/17 Al haber dos valores de y, implica dos puntos de corte  Recta secante Los dos puntos de corte de recta y circunferencia son: x1=5 – 4.0 = 5  Pc(5, 0) x2=5 – 4.(28/17) = (85 – 112)/17 = - 27/17  Pc(-27/17, 28/17) La longitud de la cuerda será: d=√(5+27/17)2 +(28/17)2 = √(43,40 +2,71) = 6,79 u. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POSICIÓN DE CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES La distancia entre centros es mayor que la suma de los radios, r y r’. d(C, C’) > r + r’ TANGENTES La distancia entre centros, es igual a la suma de los radios radios, r y r’. d(C, C’) = r + r’ SECANTES La distancia entre centros es menor que la suma de los radios, r y r’. d(C, C’) < r + r’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

POSICIÓN DE CIRCUNFERENCIAS C=C’ INTERIORES La distancia entre centros es menor que la diferencia de los radios. d(C, C’) > r – r’ TANGENTES INTERIORES La distancia entre centros, es igual a la diferencia de los radios, r y r’. d(C, C’) = r – r’ CONCÉNTRICAS Los centros coinciden. No existen puntos de corte. C = C’ y r <> r’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios 9.- Hallar la posición relativa de las circunferencias C1: x2 + y2 – 9 = 0 y C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 Centros y radios: C1(0, 0) ,, r1= 3 C2(3, 4) ,, r2=5 Distancia entre centros: d=√(3 – 0)2 +(4 – 0)2 = √(9+16) = 5 d < r1+r2 ,, 5 < 3+5  Las circunferencias son secantes. 10.- Hallar la posición relativa de las circunferencias C1: (x – 1)2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 1)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 C1(1, 0) ,, r1= 1 C2(0, 4) ,, r2=5 d=√(1 – 1)2 +(4 – 0)2 = √16 = 4 d = r2 – r1 ,, 4 = 5 – 1  Las circunferencias son tangentes interiores. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT