SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U.D. 5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

GRÁFICAS EN LAS INECUACIONES U.D. 5.11 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

INECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Inecuación lineal con dos incógnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes: a.x + b.y ≤ c También y ≤ m.x + n a.x + b.y ≥ c También y ≥ m.x + n a.x + b.y < c También y < m.x + n a.x + b.y > c También y > m.x + n La solución es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad. La solución siempre va a ser un SEMIPLANO. Para hallar la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 - x + 2 y – 2 ≤ 0 Despejada “y”: 2y ≤ x + 2 y ≤ (x + 2) / 2 y ≤ 0,5 .x + 1 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 1 - 2 0 Como y ≤ … la solución es el semiplano inferior. El punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solución El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 x + y – 4 > 0 Despejada “y”: y > 4 - x Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 4 4 0 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( 7, 7 ) pertenece a la solución El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 y + 4 > 0 Despejada “y”: y > - 4 Dos puntos de la recta frontera Tabla: x y 0 - 4 4 - 4 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( - 1, 5 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 4 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 4 x - 3 ≥ 0 Despejada “y”: x ≥ 3 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 3 0 3 3 Como x > … la solución es el semiplano derecho Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solución. El punto ( 5, 3 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 5 2.x – y > 0 Despejada “y”: y < 2.x Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 0 2 4 Como y < … la solución es el semiplano inferior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( 0, 4 ) NO pertenece a la solución El punto ( 4, 0 ) pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS En un sistema de inecuaciones lineales ( de primer grado) con dos incógnitas (x e y ) la solución de cada inecuación es un semiplano. La solución del sistema será la intersección de los dos semiplanos soluciones de las inecuaciones del sistema. La solución es el conjunto de pares (x,y) que satisface todas las desigualdades. Para hallar la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera de cada semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Sea el sistema y – 4 ≤ 0 (1) - x + y > 0 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 4 (1) y > x (2) Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 4 0 0 4 4 4 4 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común. El punto ( 0, 4 ) pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 2 Sea el sistema - x + y > 0 (1) x + y – 4 ≥ 0 (2) Despejamos las “y”: y > x (1) y ≥ 4 - x (2) Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 0 0 4 4 4 4 0 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común ZONA SOLUCIÓN C El punto ( 2, 4 ) pertenece a la solución El punto ( 2, 0 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 3 Sea el sistema: 5.x + 2.y ≤ 1200 (1) x + 2.y ≤ 400 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 600 – 2,5.x y ≤ 200 – 0,5.x Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 600 0 200 200 100 400 0 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común Y El punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solución El punto ( -100, 0 ) pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 4 Sea el sistema: 5.x + 2.y ≤ 120 (1) x + 2.y ≥ 40 (2) y < 40 x > 0 Despejamos las “y”: y ≤ 60 – 2,5.x y ≥ 20 – 0,5.x Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 60 0 20 20 10 40 0 Señalamos los semiplanos. Y ZONA SOLUCIÓN: El cuadrilátero ABCD 60 40 C B 20 A D X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT