UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO Unidad de Nivelación y Admisión Proyecto de Aula Integrantes: Aucancela Doris Castro Alejandra Gualli Tatiana Moreta Jazmína Materia: Matemática Tema: calculo proposicional  Riobamba –Ecuador 2015-2016

INTRODUCCIÓN En forma natural, el ser humano representa el conocimiento simbólicamente: imágenes, lenguaje hablado y lenguaje escrito. Adicionalmente, ha desarrollado otros sistemas de representación del conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico y lógico. Cálculo proposicional denominado también lógica proposicional: se define como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.

OBJETIVO 2.1 OBJETIVOS GENERALES Deducir conclusiones validas de datos o premisas dadas para comprender los principios de las operaciones de la lógica proposicional y sus aplicaciones. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Aprender a identificar las clases de proposiciones que se pueden encontrar en un enunciado. Analizar e interpretar proposiciones para simbolizarlas Analizar los enunciados para la elaboración de las tablas de verdad, teniendo en cuenta los términos de enlace.

JUSTIFICACIÓN Con el tema se pretende que los alumnos adquieran mayores habilidades a través del examen de argumentos en lenguaje natural, su formalización y análisis de la estructura de esos argumentos a través del cálculo lógico y que con ello sean capaces de mejorar su capacidad de razonar y la corrección de sus razonamientos. En definitiva, con el estudio del cálculo proposicional se pretenden que los alumnos sean conscientes de los requisitos de una argumentación valida que reconozca la estructura de un razonamiento correcto.

DESARROLLO Tablas de verdad Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes .

Tabla 1: Tema: Tabla de valores de verdad. Conjunción negativa P q 1 Negación p ~p 1 Conjunción p q p ^ q 1 Disyunción inclusiva P Q p v q 1

Disyunción exclusiva p q p v q 1 Bicondicional p q p ↔ q 1 Condicional P q p → q 1

Tautología Es aquella proposición compuesta que es cierta para todos los valores de verdad que se asignen a cada una de las proposiciones (1,1,1,1,1,1) Esto quiere decir que todo el resultado será 1. p q (p ^ q) (p ^ q) →p V F

Contradicción Una proposición compuesta corresponde a una contracción cuando los valores de verdad que se asignen a cada una de las proposiciones son falsos. (0,0,0,0,0,0) El resultado será 0. P Q (p v q) ~(pvq) (p v q) →~(pvq) V F

Leyes del algebra proposicional Son Equivalencias Lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. También son llamadas leyes lógicas, y representan formas proposicionales en la que si se sustituyen sus variables por los enunciados correspondiente el resultado será una proposición lógicamente verdadera.(castillo)

  5. Leyes de complementación P v ~p ≡ 1 (tercero excluido) P ^ ~p ≡ 0 (contradiccion) ~ ~p ≡ p ( doble negación) ~ 1 ≡ 0 ~ 0 ≡ 1 6. Leyes de Morgan ~(p v q ) ≡ ~q ^ ~p ~(p ^ q) ≡ ~q v ~p 7. Leyes del condicional P →q ≡ ~p v q P →q ≡ ~q → ~p ( contra reciproco) P →q ≡ (p^ ~q → 0) (reducción al absurdo) 8. Leyes del Bicondicional P ↔ q ≡ (P → q)( P →q) P ↔ q ≡ (p ^q) v ~p ^~q P ↔ q ≡ ~ (p v q) 9. Leyes de disyunción exclusiva P v q ≡ ( p ^ ~q ) v ( q^ ~p ) Leyes de algebra de proposiciones Leyes impotentes P v p ≡ p P^ p ≡ p   2. Leyes conmutativas P v q ≡ q v p P ^ q ≡ q ^ p 3. Leyes de identidad o elemento neutro P v 0 ≡ p P ^ 1 ≡ p 4. Leyes de dominación P v 1 ≡ 1 P ^ 0 ≡ 0 10 Leyes de absorción P v (p ^ q) ≡ p P ^ (p v q) ≡ p P v (~p ^ q) ≡ p v q P ^ (~p v q) ≡ p ^ q   11. Leyes asociativas (p v q ) v r ≡ p v (q v r) (p ^ q ) ^ r ≡ p ^ (q ^r) 12. Leyes distributivas P v( q ^ r) ≡ (p v q ) ^ (p v r ) P ^ (q v r ) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)

Razonamientos   Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal, y una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente. Se determina de la siguiente forma: [H1^H2^H3…. ^Hn] --->C Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica Es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

Ejemplo: Si pablo recibió el i-mail, entonces tomo el avión y estará aquí al medio día. Pablo tomo el avión. Luego, pablo no recibió el e-mail. p: pablo recibió el i-mail q: Pablo tomo el avión r: estará aquí al medio día H1: p--->(q^r) H2:¬q C:¬p

EJERCICIOS 1 Juan partirá para Japón, si María se queda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan no partirá para Japón. O María no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por consiguiente, María no se queda en Venecia. Juan Japón: p María Venecia: q Rosa Luxemburgo: r ((q -> p) & (r v ¬p)) & (¬q v ¬r) -> ¬q ((q → p) & (r V ¬ P)) (¬ Q r) F

EJERCICIO 2 [ (p<=>q)<=>)p<=>q)^(q<=>p)] Si la Luna es mayor que la Tierra, la Tierra es mayor que el Sol. Júpiter es mayor que Plutón, si la Tierra es mayor que el Sol. Por tanto, si la Luna es mayor que la Tierra, Júpiter es mayor que Plutón. Luna mayor: p Tierra mayor: q Júpiter mayor: r (p -> q) & (q -> r) -> (p -> r) [ (p<=>q)<=>)p<=>q)^(q<=>p)] (p → q) & (q r) V F

EJERCICIO 3 Aplicación de la ley del algebra de proposiciones  [~pvq]v[~qv~p] =~ pv(qv~q)v~p  Asociativa  =~ pv V v~p  Complemento = (~ pv V) v ~p  = V v ~p  Identidad   =V(tautología)  identidad

(~P ̶>q) <=> (p v q) Determine cual o cuales de las siguientes proposiciones son contingencias:  (~P → q) ↔ (p v q) (p v q) ↔~p (p v q) ↔ (p v q) I y II b) I y III c) solo I d) solo II e) II y III Solución: p q (~P ̶>q) <=> (p v q) (p v q) ->~p (p ˄ q) ̶>(p ˄ q) V F

CONCLUSIONES RECOMENDACIONES De acuerdo a la investigación hemos alcanzado un mayor nivel de comprensión acerca de las proposiciones, los tipos de tabla de verdad existentes y la diferencia que hay entre ellas. Hemos logrado también reconocer las diferentes leyes de resolución que se pueden ejecutar cada ejercicio propuesto. RECOMENDACIONES Se recomienda a nuestros compañeros que para la comprensión del cálculo proposicional debemos dar una buena lectura a la teoría para luego así poder realizar la práctica sin ningún inconveniente. De la misma manera recomendamos que apliquen cada una de las leyes basándose conforme al ejercicio planteado.

BIBLIOGRAFIA Buitrago. (s.f.). logica matematicas. Obtenido de www/logica-matematicas-ucp- hectorbuitrago Castillo. (s.f.). equivalencia logica. Obtenido de www.google.com.ec/search Pla. (s.f.). logica matematica. Obtenido de www/logica-matematica 3. Runty. (s.f.). matematica positiva. Obtenido de /matematicaspositiva.wordpress.com/tag/leyes- del-algebra-de-proposiciones Tatelo. (s.f.). tablas de verdad. Obtenido de anayita5.blogspot.com/p/clasificacion-de-las-tablas- de-verdad.html