Álgebra y Modelos Analíticos Prof. Margarita Farias N 3° E.M. LA ELIPSE Álgebra y Modelos Analíticos Prof. Margarita Farias N 3° E.M.

OBJETIVO Conocer y analizar la ecuación de la Elipse

LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal que , la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos del plano, se llaman FOCOS y se designan por y Y P(x,y) O X

Elementos de la elipse Los elementos más importantes de la elipse son: FOCOS: Los puntos fijos RECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen los focos RECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos . VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan:

DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento Se considera de longitud 2c. EJE MAYOR: Segmento que se considera de longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor . EJE MENOR: Segmento de la recta secundaria interceptada por la elipse . Se considera de longitud 2b : b es el valor del semieje menor. DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento Se considera de longitud 2c. LADO RECTO : Cuerda focal perpendicular a la recta focal o eje de simetría . Su medida es

Elementos de la elipse En la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella b c c a a

Valor de la constante y excentricidad de la elipse A toda elipse se le asocia un número real que llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE, designado por la letra e, y cuyo valor es : Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor está asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos elipses ”más o menos achatadas. La excentricidad de la elipse es un número menor que 1. Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se forma una circunferencia. Valor de la constante = 2a

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE y (eje focal en el eje X) (0,b) P(x,y) La ecuación canónica de la elipse es : (a,0) (-a,0) X (0,-b)

Ecuación canónica de la elipse ( Eje focal en el eje Y ) Y (0,a) (-b,0) (b,0) X (0,-a)

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la elipse con focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8 Solución: eje focal coincide con el eje Y Luego c = 6 ; b = 8 y a = 10 La ecuación pedida es :

Ejemplo 2 Encontremos los elementos de elipse de ecuación Tenemos a = 5 y b = 3, además C = 4, los elementos de la elipse son : FOCOS: EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10 EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6 LADO RECTO :

VERTICES: (5,0) y ( -5,0) EXCENTRICIDAD: y 3 -5 5 -4 4 X -3

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA ELIPSE Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el eje focal paralelo al eje X Y La ecuación principal de la elipse con centro en C(h,k) es: Picasa 3 O k h X

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la ecuación principal de la elipse e igualando a cero, encontramos la ecuación equivalente , llamada ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE A<B