APLICACIONES DE LAS FUNCIONES U. D. 12 * 4º ESO E. AC. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Modelos de identificación U. D. 11.1 * 4º ESO E. AC. Modelos de identificación @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO GRÁFICO MODELO GRÁFICO ¿Cómo se asigna una función a una situación real dada por una gráfica?. 1.- Si gráficamente lo que vemos es una nube de puntos sin conexión entre sí estamos frente a una función de variable discreta donde x toma una serie de valores finitos en un intervalo finito. 2.- Si gráficamente lo que vemos es una línea recta vertical, no es una función. 3.- Si gráficamente lo que vemos es línea recta horizontal estamos frente a una función constante de la forma f(x) = k 4.- Si gráficamente lo que vemos es línea recta oblicua que pasa por el origen de coordenadas, estamos frente a una función lineal de la forma: f(x) = m.x 5.- Si gráficamente lo que vemos es línea recta oblicua que no pasa por el origen de coordenadas, estamos frente a una función afín de la forma: f(x) = m.x + n @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Formas gráficas de funciones f(x) Función discreta f(x) f(x) = k Función constante a b f(x) a b c d e f(x) Función lineal Función afín f(x) x = a No es una función f(x) = m.x f(x) = m.x+n a 0 b a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO GRÁFICO … MODELO GRÁFICO 6.- Si gráficamente lo que vemos es una parábola o fragmento de parábola cóncava (en forma de valle), estamos frente a una función cuadrática de la forma: f(x) = a.x2 + b.x + c, donde a >0 7.- Si gráficamente lo que vemos es una parábola o fragmento de parábola convexa (en forma de colina), estamos frente a una función cuadrática de la forma f(x) = a.x2 + b.x + c, donde a < 0 8.- Si gráficamente lo que vemos es una hipérbola o fragmento de hipérbola de ejes horizontal y vertical, dibujada en el primer y tercer cuadrante, estamos frente a una función de proporcionalidad inversa de la forma: f(x) = b + k / (x – a), con k >0 9.- Si gráficamente lo que vemos es una hipérbola o fragmento de hipérbola de ejes horizontal y vertical, dibujada en el segundo y cuarto cuadrante, estamos frente a una función de proporcionalidad inversa de la forma: f(x) = b + k / (x – a), con k <0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Formas gráficas de funciones f(x) f(x) a b f(x) = x2 Función cuadrática f(x) = – x2 a b f(x) f(x) Función de proporcionalidad inversa a b a b f(x) = k / x k<0 f(x) = k / x k>0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO GRÁFICO … MODELO GRÁFICO 10.- Si gráficamente lo que vemos es una curva por encima del eje de abscisas, de valores muy pequeños para x < 0, pero cada vez mayores para x > 0, estamos frente a una función exponencial de la forma: f(x) = ax , donde a > 0 11.- Si gráficamente lo que vemos es una curva dibujada a la derecha del eje OY, de valores negativos en el intervalo (0, 1) y positivos, pero con una tasa de valor medio muy pequeña a partir de x = 1, estamos frente a una función logarítmica de la forma: f(x) = loga x , donde a > 0 12.- Si gráficamente lo que vemos es una curva convexa dibujada encima del eje de abscisas y partiendo de dicho eje, estamos frente a una función radical de la forma: f(x) = √(x – m), siendo (m, 0) el punto del eje de abscisas de donde parte la gráfica. 13.- Si gráficamente lo que vemos es una doble línea en forma de V y con el vértice en el eje de abscisas, estamos frente a una función valor absoluto de la forma: f(x) = |x – m|, siendo m el valor de x donde se encuentra el vértice. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Formas gráficas de funciones f(x) f(x) = ex f(x) = ln x f(x) Función exponencial Función logarítmica Función valor absoluto f(x) f(x) f(x) = √(x – m) Función radical f(x) = |x – m| a m b m a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO MODELO MATEMÁTICO ¿Cómo se asigna una función a una situación real en la que disponemos de una tabla de valores de las dos magnitudes que intervienen?. 1.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma proporcional, el resultado del modelo matemático es una función lineal: y = m.x + n Tendríamos que hallar los valores de m y n. No es relevante distinguir entre lineal o afín. 2.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma inversamente proporcional, el resultado del modelo matemático es una función racional: y = b + k / (x – a) Tendríamos que hallar los valores de a, b y k 3.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma no proporcional, el resultado del modelo matemático es una función cuadrática: y = a.x2 + b.x + c Tendríamos que hallar los valores de a, b y c @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO … MODELO MATEMÁTICO ¿Cómo se asigna una función a una situación real en la que disponemos de una tabla de valores de las dos magnitudes que intervienen?. 4.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen o disminuyen de forma muy rápida, el resultado del modelo matemático es una función exponencial: y = k.ab.x+c Tendríamos que hallar los valores de k, b y c En el mejor de los casos sería de la forma: y = ax , teniendo que hallar a. 5.- Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen de una forma lenta y cada vez menor, el resultado del modelo matemático es una función logarítmica: y = k.log (a.x + b) Tendríamos que hallar los valores de k, a y b En algún caso podría ser y = k.ln (a.x + b), teniendo que discernir la base del logaritmo (base 10, decimal; o base e, neperiano). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO DE INCREMENTOS MODELO INCREMENTAL ¿Cómo se asigna una función a una situación real en la que disponemos de una tabla de valores de las dos magnitudes que intervienen?. El modelo incremental sirve de manera muy precisa para asignar funciones polinómicas (lineales, cuadráticas, cúbicas o de un grado superior a tres). Debemos de tener, cosa muy sencilla, los valores de la variable x incrementados de forma homogénea, es decir ∆x = constante. Ordenamos los valores de la variable y en una primera fila. En una segunda fila hallamos ordenadamente los valores de ∆y. Si todos los valores son nulos, ∆y = 0, la función es constante. Si todos los valores son iguales, ∆y = constante, la función es lineal. En una tercera fila hallamos ordenadamente los valores de ∆2y, es decir los incrementos de los incrementos. Si todos los valores son iguales, ∆2y = constante, la función es cuadrática. En una cuarta fila hallamos ordenadamente los valores de ∆3y. Si todos los valores son iguales, ∆3y = constante, la función es cúbica. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos Modelo incremental 1.- Sean los valores conocidos: x 2 4 6 8 y 7 12 17 22 ∆y 5 5 5 ∆y = Cte  Función lineal: f(x) = m.x + n Y hallaríamos la ecuación de la recta tomando dos puntos cualquiera. Por la ecuación punto-pendiente: m = ∆y / ∆x = (12 – 7) / (4 – 2 ) = 5 /2 = 2,50 y – yo = m.(x – xo) y – 7 = 2,5.(x – 2) y = 2,5.x – 5 + 7 y = 2,5.x + 2 Luego tengo: f(x) = 2,50.x + 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos Modelo incremental 2.- Sean los valores conocidos: x – 1 2 5 8 y – 3 0 21 60 ∆y 3 21 39 ∆2y 18 18 ∆2y = Cte.  Función cuadrática: f(x) = a.x2+ b.x + c. Y hallaríamos la ecuación de la recta tomando tres puntos cualquiera y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, hallando a, b y c. Para (–1 ,– 3) – 3 = a.(–1)2+ b. (–1) + c = a – b + c Para (2 , 0) 0 = a.(2)2+ b. (2) + c = 4.a + 2.b + c Para (5, 21) 21 = a.(5)2+ b. (5) + c = 25.a + 5.b + c Despejamos “c” en la primera, sustituimos en las otras dos y por el método de Reducción obtenemos a y b. Obtenemos: a = 1, b = 0 y c = – 4 Luego: f(x) = x2 – 4. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos Modelo incremental 3.- Sean los valores conocidos: x – 1 0 1 2 3 y 0 0 0 6 24 ∆y 0 0 6 18 ∆2y 0 6 12 ∆3y 6 6 ∆3y = Cte  Función cúbica: f(x) = a.x3+ b.x2+ c.x + d. Y hallaríamos la ecuación de la recta tomando cuatro puntos cualquiera y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, hallando a, b , c y d. Para (–1, 0) 0 = – a + b – c + d Para (0, 0) 0 = d Para (1, 0) 0 = a + b + c + d Para (2, 6) 6 = 8.a + 4.b + 2.c + d Resolviendo: d = 0 y por reducción 2.b = 0  b = 0 Tenemos: a = 1, b = 0, c = –1 y d = 0 f(x) = x3 – x. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.