CÁTEDRA DE MATEMÁTICA II UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE ARQUITECTURA URBANISMO Y DISEÑO CARRERA DE ARQUITECTURA CÁTEDRA DE MATEMÁTICA II POLIEDROS- CUERPOS REDONDOS APLICACIONES EN ARQUITECTURA

POLIEDROS IRREGULARES Y CUERPOS REDONDOS APLICACIONES AL DISEÑO INDUSTRIAL Introducción Poliedros y cuerpos redondos en Arquitectura Desarrollo Poliedros Poliedros irregulares: Prisma Pirámide Cuerpos redondos: Cono , Cilindro esfera Conclusión Autoevaluación Consignas para el workshop Invitación al Workshop

Cuerpos sólidos- Clasificación Poliedros Cóncavos Convexos Regulares Irregulares Cuerpos redondos Cilindro Cono Esfera Regulares- Irregulares- Poliedros- Cuerpos- Sólidos

Regulares e irregulares Poliedros Cóncavos Convexos Regulares e irregulares Regulares Irregulares Regulares- Irregulares- Poliedros- Cuerpos- Sólidos

POLIEDROS IRREGULARES EN LA ARQUITECTURA… EDIFICIO CUBO-VALLADOLID CASAS CUBO-ROTTERDAM PIRAMIDE LOUVRE - PARIS CASA DE LA CASCADA CENTRO DE ARTE MEXICO Puede ser que los polígonos sean los que dan origen a los poliedros?

Poliedros- Generalidades Poliedros: Un poliedro es, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Elementos: Caras poligonales Aristas Vértices Ángulos entre caras Aquellos poliedros que tienen todas sus caras poligonales congruentes entre si y todos sus ángulos poliédricos congruentes se conocen como POLIEDROS REGULARES Y SON SOLO CINCO. Aquellos poliedros que tienen todas o varias de sus caras poligonales NO CONGRUENTES y todos o algunos de sus ángulos poliédricos, son NO CONGRUENTES se los conoce como poliedros IRREGULARES Y SU NÚMERO ES INFINITO. Los poliedros irregulares serán el motivo de nuestro workshop. A continuación veremos los mas representativos, PRISMAS Y PIRÁMIDES .

Poliedros Irregulares Prismas y Pirámides Torre del oro -Sevilla Villa Puerto de la Cruz - Venezuela Clasificación si su base es un polígono regular Regular Si su eje es perpendicular a la base Recto Si su eje no es perpendicular a la base Oblicuo Si su base es un polígono irregular Irregular Puertas de Europa - Madrid Atención: El eje del prisma es la recta que contiene a los puntos centrales de las bases del poliedro. El eje de la pirámide es la recta que contiene al vértice de la misma y al centro geométrico de la base.

Desarrollable- Plano- Lateral- Base- Altura Poliedros Irregulares-Prismas y Pirámides PRISMAS Se dice que los poliedros son superficies desarrollables ya que pueden extenderse sobre un plano. Base PRISMA SUPERFICIE LATERAL Perímetro de la Base x h SUPERFICIE TOTAL PRISMA Sup.Lat.+2xSup de la base VOLUMEN DEL PRISMA Sup. de la base x h Cara lateral Altura: Distancia entre las bases. Desarrollable- Plano- Lateral- Base- Altura

Palabras clave: Cúspide- Coplanar Poliedros Irregulares-Prismas y Pirámides Pirámides- Definición- Elementos Pirámide: Es el cuerpo poliedro limitado por una base poligonal y por caras triangulares que convergen en un punto no coplanar con la base llamado cúspide. Elementos: Caras poligonales Aristas Vértices Ángulos entre caras Cúspide o vértice superior Podemos nombrar a las pirámides según sea el número de lados de sus bases, así tendremos triangulares, cuadrangulares, pentagonales… Palabras clave: Cúspide- Coplanar

Poliedros Irregulares Pirámides- Cálculo de Superficies y volúmenes Superficie Lateral Superficie Lateral de la pirámide Sumatoria de las superficies de las caras laterales. Superficie total Superficie total de la pirámide Superficie lateral+ Superficie de la base Volumen Volumen: ( Sup. de la base x altura del cuerpo)/3

Para pensar y razonar… Te fijaste que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma que tenga la misma altura y la misma base que la pirámide? Serias capaz de demostrarlo? Aquí va un gráfico de ayuda donde todas las bases son cuadradas de lado igual a 2 cm y las alturas de los cuerpos son constantes y miden 4,5 cm. Puedes consultar el material bibliográfico propuesto por la cátedra y revisar el postulado de Cavalieri sobre equivalencia de volumen de los cuerpos y sus propiedades. Puedes también revisar el Principio de Arquimedes

Pirámide del Louvre- Arq. Pei Palacio de la paz y la reconciliación-Kazajistan Villa Puerto de la Cruz - Venezuela Pirámide del Louvre- Arq. Pei Hotel Ryugyong, en Pionyang (Corea del Norte) Transamerica Pyramid, en San Francisco, California (EE.UU.) The Shard, en Londres (Reino Unido)

Poliedros Irregulares- Tronco de pirámide o pirámide trunca El tronco de pirámide es un poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales. Particularidades: Si el plano secante es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de dichos troncos. La altura del cuerpo es el segmento perpendicular a la base que pasa por su centro. Piramide de Kukulkan Sup. Lateral=Suma de las superficies de las caras laterales Sup. Total= Sup. Lateral+ Sup.de las bases

regla de tres y semejanza e intenta el calculo…verifícalo en taller Las pirámides (truncas) de Indianápolis Kevin Roche Como calcularías el volumen de estos cuerpos? Recuerda los conceptos de regla de tres y semejanza e intenta el calculo…verifícalo en taller

Regulares- Irregulares- Poliedros- Cuerpos- Sólidos Cuerpos redondos Cilindro Cono Esfera Regulares- Irregulares- Poliedros- Cuerpos- Sólidos

Cuerpos redondos- Cilindros- Conos -Esferas ¿Por qué se llaman cuerpos redondos? Porque tienen al menos una cara curva Estudiaremos Cilindros Conos Esferas Entonces, puede el cilindro tener bases elípticas? Puede tener eje oblicuo?

Cilindro recto circular Cuerpos redondos Cilindros Cilindro recto circular Es el cuerpo redondo que se genera al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que es tomado como eje de rotación. Superficie lateral 2xπx radio x altura del cilindro. Superficie total S. Lateral+2 xπ x radio2 Volumen π x radio2 x altura del cuerpo Dublin Convention Center Kevin Roche El cilindro es una superficie que encierra un determinada porción de espacio

“53rd at Third” Diseñado por Philip Johnson y John Burgee 

El cono podría tener una base elíptica? Cuerpos redondos Conos Cono recto circular Es el cuerpo redondo obtenido al hacer girar un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, que es tomado como eje de rotación de la figura. Superficie lateral Generatriz x Radio x π Superficie total Sup. Lateral + Sup. de la Base Volumen ( Sup. de la base x altura)/3 Catedral de Nuestra Señora de la Gloria,en Maringá, en el Estado de Paraná, Brasil. El cono tiene una altura externa de 114 metros sustentando una cruz de 10 metros.  Tiene capacidad para 4,700 personas. El cono podría tener una base elíptica?

Tronco de Cono recto circular Cuerpos redondos Cono trunco Tronco de Cono recto circular El tronco de cono, cono truncado  es una superficie de revolución generada por la rotación un trapecio rectángulo, al tomar como eje de giro el lado perpendicular a las bases Superficie lateral πx(Radio mayor+ radio menor)x g Superficie total Sup. Lateral + Sup. de las Bases Volumen π. h (R2+ r2 +Rxr)/3 El Museo Suntory de Osaka es un Complejo cultural diseñado por el Arquitecto Tadao Ando donde se destaca el tronco de cono.

Cuerpos redondos Esfera V = 4/3 · π · r3 A = 4 · π · r2 La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.     Bioesfera en Dubai Superficie A = 4 · π · r2 Volumen V = 4/3 · π · r3 Para contrarrestar las altas temperaturas del lugar, que en época de calor llegan a alcanzar los 48° centígrados, se utilizó vidrio aislante laminado de bajas emisiones y polarizado para la fachada, lo que permitirá ahorrar energía en los sistemas de enfriamiento y dar mayor calidad a la acústica.  El Centro Rose para la Tierra y el Espacio (Nueva York) fue diseñado por James Stewart Polshek y Todd Schliemann.​ El edificio consiste en un cubo de vidrio de seis pisos que encierra una esfera iluminada que parece flotar .

Responder, justificando, Verdadero o Falso según corresponda. REVISIÓN: Responder, justificando, Verdadero o Falso según corresponda. V- F Los poliedros encierran porciones de plano, no de espacio. Si la base de un poliedro no es regular el poliedro será oblicuo Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Los poliedros solo pueden ser convexos Las pirámides y los conos son cuerpos redondos