Modelo matemático de un yacimiento de aceite Luis Alberto Vázquez Maison Mayo 2009

Yacimiento de hidrocarburos Un yacimiento de aceite consiste de una región geológica dentro de la cual se encuentran atrapados hidrocarburos (líquidos o gases)

Yacimiento de hidrocarburos Los yacimientos pueden clasificarse en los siguientes casos: Homogéneos : Se considera un solo medio poroso (porosidad simple). Presentan poca variación en permeabilidad y porosidad, son relativamente sencillos de simular. Fracturados : Existen al menos dos medios porosos (multiporosidad). Presentan variaciones importantes en permeabilidad y porosidad del medio, la complejidad de su simulación depende entre otras cosas del numero de porosidades y permeabilidades consideradas

Ley de conservación de masa (Fluido en movimiento unidimensional) Cantidad de masa que entra en el espacio de medición Cantidad de masa que sale del espacio de medición Cantidad de masa que entra en el espacio de medición por medios externos Cantidad de masa acumulada en el espacio de medición

Ley de conservación de masa (Fluido en movimiento unidimensional) Flujo de masa a través de una unidad de área (Ax) durante un periodo de tiempo Dt Masa contenida en una unidad de Volumen (V) al tiempo t Masa total obtenida de fuentes externas durante el periodo de tiempo Dt

Ley de conservación de masa (Fluido en movimiento unidimensional) Densidad del fluido Porosidad del medio Velocidad del flujo Factor de conversión

Ecuación de flujo para un fluido simple (Fase simple) Ley de Darcy con Densidad relativa a la presión Factor de conversión Potencial del fluido Permeabilidad Presión del fluido Viscosidad del fluido Profundidad

Ecuación de flujo para un fluido simple (Fase simple) Considerando ahora un flujo en tres dimensiones

Ecuación de flujo para fluido compuesto (Multifase) c : Se refiere al componente del fluido (Aceite, Agua o Gas) Para la ecuación de aceite (c=o)

Ecuaciones auxiliares Son parámetros que dependen de la posición y pueden se calculados en forma independiente a la presión de aceite

El modelo de “Aceite Negro” Las variables a calcular ( , , ) dependen de la posición (x,y,z) y el tiempo (t) Agua Gas Dependen de la presión de aceite Dependen de las saturaciones Un simulador de yacimientos es un paquete computacional que aproxima la solución del sistema y permite predecir el comportamiento global del yacimiento

El modelo de “Aceite Negro” Sistema de ecuaciones no lineales acopladas Tres variables a determinar: Presión (Parabólica) Saturación de gas (Convección- Difusión ) Saturación de aceite (Hiperbólica)

Discretización de las ecuaciones El yacimiento se idealiza como un paralelepípedo subdividido por una malla cartesiana

Discretización de las ecuaciones de flujo La ecuación de aceite Genéricamente los términos espaciales son de la forma Para la dirección x

Discretización de las ecuaciones de flujo La ecuación de aceite Genéricamente los términos espaciales son de la forma Para la dirección x

Discretización de las ecuaciones de flujo La parcial en la dirección x puede aproximarse con el siguiente esquema, considerando el nodo (i,j,k) de la malla: Expresiones análogas pueden determinarse para las direcciones y , z Para la parcial respecto al tiempo se usa un esquema “Backward”, en el nivel n+1 sobre el nodo (i,j,k) donde

Discretización de las ecuaciones de flujo La ecuación de aceite en diferencias toma la forma Las ecuaciones de agua y gas toman expresiones similares Se tiene un sistema algebraico no lineal La solución es aproximada por el método de Newton

El jacobiano en el método de Newton Cada bloque se relaciona directamente con otros 6 bloques y en cada uno deben calcularse las 3 variables involucradas

El jacobiano en el método de Newton z 6 12 9 14 13 1 2 3 25 26 15 27 37 38 39 49 50 51 Nz Ny Nx Tomando una malla con dimensiones Nx,Ny,Nz y considerando que se deben calcular tres variables por celda, el número de incógnitas es de 3*Nx*Ny*Nz

El jacobiano en el método de Newton Cada diagonal consta de submatrices de 3X3 En cada iteración de Newton se requiere la solución de un sistema lineal En una simulación pueden aparecer varios cientos de sistemas lineales Aproximadamente el 60% del costo computacional

Características del sistema lineal Ax=b nnz K(A) 1120 13136 (1.0 %) 7 x 10^9 3500 55540 (0.4 %) 6 x 10^9 9604 286688 (0.3 %) 1 x 10^10 No es simétrica ni diagonal dominante

Dimensión de la malla: 120 X 96 X 18 Total de variables: 622080

Método de solución Subespacio de Krylov GMRES BiGCStab Precondicionamiento Descomposición de dominio Factorizaciones incompletas con reducción del ancho de banda

Descomposición del sistema lineal

Ideas a considerar