FUNCIONES CUADRÁTICAS DÍA 24 * 1º BAD CS

FUNCIONES CUADRÁTICAS y 5 Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = a.x2 + b.x + c Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola. Para dibujar una parábola necesitamos conocer: 1.- Coordenadas del vértice. 2.- Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas. 3.- El eje de simetría. 4.- Una tabla de valores. f(x) = x2 – 2x – 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -5

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(xv , yv) Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2 +b.xv+ c EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. TABLA DE VALORES Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más de valor de x simétrico respecto al valor del vértice. Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son simétricos respecto al valor de xv. Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA

PROPIEDADES DOMINIO El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R. Dom f(x) = R RECORRIDO La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –oo al vértice, según sea cóncava o convexa. Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.

Sea f (x) = - x2 + x Dom f(x) = R Vértice: Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sea f (x) = x2 - 3 a=1>0  Cóncava Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 yv= 02 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) Sea f (x) = - x2 + x a=-1<0  Convexa Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 V(0’5 , 0´25) Img f(x) = (- oo, 0,25] V 0,25 -3 V

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c Podemos decir que es una función cuadrática. En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Las letras a, b y c son los llamados parámetros. La señalaremos así: f(x) = a.x2 , f(x) = a.x2 + c , f(x) = a.x2 + b.x , f(x) = a.x2 + b.x + c Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.

La función f(x)= a.x2 , a > 0 y Sea y = x2 Tabla de valores x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 9 4 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

La función f(x)= a.x2 , a < 0 Sea y = - 2.x2 Tabla de valores x y -3 - 18 -2 - 8 -1 - 2 0 0 1 - 2 2 - 8 3 - 18 - 2 - 8 - 18 y

La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0 y Sea y = x2 - 2 Tabla de valores x y -3 7 -2 2 -1 - 1 0 - 2 1 - 1 2 2 3 7 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 - 2

La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0 5 Sea y = - 3.x2 + 5 Tabla de valores x y -3 - 22 -2 - 7 -1 2 0 5 1 2 2 - 7 3 - 22 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 7 - 22 y

La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0 y Sea y = x2 - 2.x Tabla de valores x y -3 15 -2 8 -1 3 0 0 1 - 1 2 0 3 3 15 8 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1

La función f(x)= a.x2 + b.x , a < 0 , b > 0 Sea y = - x2 + 5.x Tabla de valores x y -3 - 24 -2 - 14 -1 - 6 0 0 1 4 2 6 3 6 6 4 -2 -1 0 1 2 3 x - 6 - 14 y

La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0 Sea y = x2 - 2.x + 3 Tabla de valores x y -3 18 -2 11 -1 6 0 3 1 2 2 3 3 6 18 11 6 3 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Ejemplos de dilatación f(x) = x2 y - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2

Ejemplos de dilatación Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2 El efecto es que la parábola se deforma. Si r > 0  Conserva la concavidad Si r < 0  Se invierte. Si |r| > 1  Se estrecha. Si |r| < 1  Se ensancha. y f(x) = 2.x2 f(x) = x2 f(x) = 0’5.x2 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Problema El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre 30 y 190 km/h, viene dado por la función: Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km a) ¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10 litros/100 km? b) ¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?. a) 10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x2 0,00025.x2 – 0,045.x – 2 = 0  25.x2 – 4500.x – 200000 = 0 5.x2 – 900.x – 40000 = 0  x2 – 180.x – 8000 = 0 x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola: Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h El consumo será: Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.902 = 8 – 4,05 + 2,025 = 5,975 litros/100 km