5.6 Ejes sólidos no circulares Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 5.6 Ejes sólidos no circulares En las sección 5.1 se demostró que al aplicar un par de torsión sobre un eje con sección transversal circular, es decir sobre un eje con simétria axial las deformaciones cortantes varían linealmente desde cero en su centro hasta un máximo en su superficie externa 1

5.6 Ejes sólidos no circulares Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 5.6 Ejes sólidos no circulares 2

Dr. Hermann Alcazar Ejemplo 5.10 El eje de aluminio 6061-T6 mostrado tiene una sección transversal con forma de triangulo equilátero. Determine el mayor par de torsión T que puede aplicarse sobre el extremo del eje si el esfuerzo cortante permisible es τperm=8ksi y el ángulo de giro en su extremo esta restringido a Φperm=0.02rad ¿De que tamaño puede ser el par de torsión aplicado a un eje con sección transversal circular hecho con la misma cantidad de material? MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 3

5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas Los tubos de pared delgada con sección transversal no circular se utilizan a menudo para construir estructuras ligeras como las empleadas en aviones Flujo cortante En las figuras se muestran un pequeño elemento del tubo, con una una longitud finita ¨s¨ y un ancho diferencial ¨dx ¨ 4

Esfuerzo cortante promedio El esfuerzo cortante promedio se puede relacionar con el par de torsión T al considerar el par de torsión producido por este esfuerzo cortante alrededor de un punto O seleccionado dentro de los limites del tubo

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Angulo de giro El ángulo de giro de un tubo con pared delgada y longitud L puede determinarse mediante métodos de energía . Si el material se comporta de una manera elástico-lineal y G es el modulo cortante, entonces este ángulo dado en radianes puede expresarse como La integral debe realizarse alrededor del limite del área de la sección transversal del tubo. 6

Dr. Hermann Alcazar Ejemplo 5.11 MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Calcule el esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada con un sección transversal circular de radio medio rm y grosor t, el cual esta sometido a un par de torsión T figura(a). Además ¿Cuál es el ángulo de giro relativo si el tubo tiene una longitud L? 7

Dr. Hermann Alcazar Ejemplo 5.12 El tubo fabricado de bronce C86100 y tiene una sección transversal rectangular como se muestra en la figura se somete a los dos pares de torsión mostrados en la figura, determine el esfuerzo cortante promedio en el tubo en los puntos A y B. Además , ¿Cuál es el ángulo de giro del extremo C? el tubo se encuentra fijo en E MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 8

Ejemplo 5.12 El tubo fabricado de bronce C86100 y tiene una sección transversal rectangular como se muestra en la figura se somete a los dos pares de torsión mostrados en la figura, determine el esfuerzo cortante promedio en el tubo en los puntos A y B. Además , ¿Cuál es el ángulo de giro del extremo C? el tubo se encuentra fijo en E

Máximo esfuerzo cortante Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.95 Compare los valores del esfuerzo cortante elástico máximo y el ángulo de giro desarrollados en ejes de acero inoxidable 304 con secciones transversales circular y cuadrada. Cada eje tiene la misma área de 9 pulg2 y se somete a un para de torsión de 4000lb-pulg. Máximo esfuerzo cortante Para eje circular Para eje rectangular 10

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.95 Compare los valores del esfuerzo cortante elástico máximo y el ángulo de giro desarrollados en ejes de acero inoxidable 304 con secciones transversales circular y cuadrada. Cada eje tiene la misma área de 9 pulg2 y se somete a un para de torsión de 4000lb-pulg. Angulo de torsión Para eje circular Para eje rectangular 11

Máximo esfuerzo cortante Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.98 El eje esta hecho de latón rojo C83400 y tiene una sección transversal elíptica. Si se somete a las cargas de torsión mostradas determine el esfuerzo cortante máximo dentro de las regiones AC y BC, también encuentre el ángulo de giro Φ del extremo B con respecto al extremo A Máximo esfuerzo cortante 12

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.98 El eje esta hecho de latón rojo C83400 y tiene una sección transversal elíptica. Si se somete a las cargas de torsión mostradas determine el esfuerzo cortante máximo dentro de las regiones AC y BC, también encuentre el ángulo de giro Φ del extremo B con respecto al extremo A Angulo de torsión 13

Máximo esfuerzo cortante: en los segmentos AB Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.100 Los segmentos AB y BC del eje tienen secciones transversales circular y cuadrada, respectivamente. Si el extremo A se somete a un par de torsión T= 2kN-m, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en el eje y el ángulo de giro del extremo A. el eje esta fabricado de acero A-36 y se encuentra fijo en C. Máximo esfuerzo cortante: en los segmentos AB 14

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.100 Los segmentos AB y BC del eje tienen secciones transversales circular y cuadrada, respectivamente. Si el extremo A se somete a un par de torsión T= 2kN-m, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en el eje y el ángulo de giro del extremo A. el eje esta fabricado de acero A-36 y se encuentra fijo en C. segmentos BC Angulo de torsión 15

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.106 El eje de acero tiene 12 pulg de largo y se atornilla a la pared mediante una llave. Determine el esfuerzo cortante máximo en el eje y cuanto se desplaza cada fuerza de par si estas tienen una magnitud de F=30lb, Gac=10.8(10)3ksi 16

Refiriéndose ala geometría se muestra en la figura Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.115 El tubo esta sometido a un par de torsión de 750N-m. Determine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B del tubo. Refiriéndose ala geometría se muestra en la figura 17

Problema 5.119 El tubo simétrico esta fabricado de un acero de alta resistencia, con las dimensiones medias mostradas en la figura y un grosor de 5 mm. Si se somete a un par de torsión de T=40 N·m determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en los puntos A y B. Indique el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos

Problema 5.117 Las dimensiones medias de la sección transversal del borde delantero y la caja de torsión del ala de un avión pueden aproximarse como se muestra en la figura. Si el ala esta fabricada de una aleación de aluminio 2014-t6 con un esfuerzo cortante permisible de τ =125 Mpa y el grosor de su pared es de 10 mm, determine el par de torsión máximo permisible y el ángulo de giro correspondiente por metro de longitud del ala.

Problema 5.118 Las dimensiones medias de la sección transversal del borde delantero y la caja de torsión del ala de un avión pueden aproximarse como se muestra en la figura. Si el ala se somete a un par de torsión de 4.5 MN.m y el grosor de su pared es de 10 mm, determine el esfuerzo cortante promedio desarrollado en el ala y su ángulo de giro por metro de longitud. El ala esta fabricada de aluminio 2014-t6.

5.8 Concentración del esfuerzo Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 5.8 Concentración del esfuerzo La formula de la torsión no puede aplicarse a las regiones de un eje que tienen un cambio repentino en su sección transversal. Aquí las distribución de esfuerzo cortante y deformación cortante en el eje se vuelven complejas por lo que solo se pueden obtener mediante el uso de métodos experimentales o posiblemente por medio de un análisis matemática basada en la teoría de la elasticidad figura(a) coples , figura(b) cuñeros y figura(c) filetes 21

Ejemplo 5.13 El eje escalonado que se muestra en la figura(a), esta apoyado sobre cojines en A y B. determine el esfuerzo máximo en el eje debido a los pares de torsión aplicados. El filete ubicado en la unión de cada eje tiene un radio r=6mm

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 5.9 Torsión inelástica Si las cargas de torsión aplicadas sobre el eje son excesivas, entonces el material puede presentar cedencia y, en consecuencia debe usarse un `análisis plástico´ para determinar la distribución del esfuerzo cortante y el ángulo de giro elástico-lineal 23

Par de torsión elástoplastico Considere que el material de un eje exhibe un comportamiento elástico perfectamente plástico, como se muestra en la figura, este se caracteriza por un diagrama de esfuerzo- deformación cortante creciente cuando el esfuerzo cortante alcanza el punto de cedencia

Par de torsión elástoplastico

Par de torsión plástico Los aumentos adicionales en T tienden a reducir el radio del núcleo elástico hasta que todo el material cede. El material del eje estará sometido a un comportamiento perfectamente plástico y la distribución del esfuerzo cortante se vuelve uniforme En comparación con el par de torsión elástico TY El par de torsión plástico es 33 por ciento mayor que el par de torsión elástico máximo.

5.10 Esfuerzo residual Cuando un eje se somete a deformaciones cortantes plásticas causadas por torsión, el retiro del par de torsión hará que algunos esfuerzos cortantes permanezcan en el eje.

5.10 Esfuerzo residual Como se produce una recuperación elástica, es posible superponer en la distribución del esfuerzo de torsión plástica de la figura (a), una distribución lineal del esfuerzo causada por la aplicación del par de torsión plástico Tp en dirección opuesta (b), acá el esfuerzo cortante máximo se llama modulo de ruptura para la torsión.

Par de torsión ultimo En general la mayoría de los materiales de ingeniería tendrán un diagrama de esfuerzo - deformación cortante como el mostrado a continuación

Ejemplo 5.14 El eje tubular de la figura esta fabricado de una aleación de aluminio la cual se supone tiene un diagrama τ-γ elastoplástico como se muestra. Determine el par de torsión máximo que puede aplicarse al eje sin causar que el material ceda, y el par de torsión máximo o el par de torsión plástico que se puede aplicar al eje. Además ¿Cuál debe ser la deformación cortante mínima en la pared exterior para que se desarrolle un par de torsión totalmente plástico? Par de torsión elástico

Ejemplo 5.14 El eje tubular de la figura esta fabricado de una aleación de aluminio la cual se supone tiene un diagrama τ-γ elastoplástico como se muestra. Determine el par de torsión máximo que puede aplicarse al eje sin causar que el material ceda, y el par de torsión máximo o el par de torsión plástico que se puede aplicar al eje. Además ¿Cuál debe ser la deformación cortante mínima en la pared exterior para que se desarrolle un par de torsión totalmente plástico? Par de torsión plástico Deformación cortante del radio exterior

Ejemplo 5.15 Un eje circular solido tiene un radio de 20 mm y una longitud de 1.5 m. El material tiene un diagrama τ-γ elastoplastico como se muestra en la figura(a). Determine el par de torsión necesario para girar el eje un ángulo de Φ=0.6rad

Ejemplo 5.16 El tubo de la figura 5.41a tiene una longitud de 5 pies y su diagrama τ-γ elastoplastico como se muestra en la figura(a). Determine el par de torsión Tp plástico. ¿Cual es la distribución del esfuerzo cortante residual si Tp se retira justo después de que el tubo se vuelve totalmente plástico?

Ejemplo 5.16 El tubo de la figura 5.41a tiene una longitud de 5 pies y su diagrama τ-γ elastoplastico como se muestra en la figura(a). Determine el par de torsión Tp plástico. ¿Cual es la distribución del esfuerzo cortante residual si Tp se retira justo después de que el tubo se vuelve totalmente plástico?

Problema 5.122 El eje compuesto esta diseñado para girar a 540 rpm. Si el radio de la soldadura de filete que conecta a los ejes es r =7.20 mm y el esfuerzo cortante permisible para el material es τperm=55 Mpa, determine la potencia máxima que puede transmitir el eje

Problema 5.124 El acero utilizado para fabricar el eje tiene un esfuerzo cortante permisible τperm=8 Mpa. Si los elementos se conectan entre si mediante una soldadura de filete con un radio r =2.25 mm, determine el máximo par de torsión T que puede aplicarse

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.134 El eje hueco esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico con un modulo cortante G y un esfuerzo cortante de cedencia τy. Determine el par de torsión Tp aplicado cuando el material de la superficie interior esta a punto de ceder (par de torsión plástico). Además encuentre el ángulo de giro correspondiente y la deformación cortante máxima. El eje tiene una longitud de L Par plástico 37

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.134 El eje hueco esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico con un modulo cortante G y un esfuerzo cortante de cedencia τy. Determine el par de torsión Tp aplicado cuando el material de la superficie interior esta a punto de ceder (par de torsión plástico). Además encuentre el ángulo de giro correspondiente y la deformación cortante máxima. El eje tiene una longitud de L Angulo de torsión 38

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.134 El eje hueco esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico con un modulo cortante G y un esfuerzo cortante de cedencia τy. Determine el par de torsión Tp aplicado cuando el material de la superficie interior esta a punto de ceder (par de torsión plástico). Además encuentre el ángulo de giro correspondiente y la deformación cortante máxima. El eje tiene una longitud de L 39

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.135 El eje hueco tiene diámetros interno y externo de 60 mm y 80 mm respectivamente. Si esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. 40

Ecuación de equilibrio Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.135 El eje hueco tiene diámetros interno y externo de 60 mm y 80 mm respectivamente. Si esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. Ecuación de equilibrio Análisis elástico 41

Resolviendo ecuación 1 y 2 Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.135 El eje hueco tiene diámetros interno y externo de 60 mm y 80 mm respectivamente. Si esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. Resolviendo ecuación 1 y 2 42

Reemplazando en ecuación 1 Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.135 El eje hueco tiene diámetros interno y externo de 60 mm y 80 mm respectivamente. Si esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. Tc > Ty .El resultado obtenido en la zona elástica no es valida. Asumiendo que la zona BC es plástica podemos decir. Análisis plástico Reemplazando en ecuación 1 43

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.135 El eje hueco tiene diámetros interno y externo de 60 mm y 80 mm respectivamente. Si esta fabricado de un material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ que se muestra en la figura, determine las reacciones en los soportes fijos A y C. 44

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.136 El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que tiene diagrama τ-γ como el mostrado en la figura. Determine el par de torsión T que debe aplicarse al eje para que la deformación cortante máxima sea de 0.01 rad 45

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.136 El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que tiene diagrama τ-γ como el mostrado en la figura. Determine el par de torsión T que debe aplicarse al eje para que la deformación cortante máxima sea de 0.01 rad 46

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.136 El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que tiene diagrama τ-γ como el mostrado en la figura. Determine el par de torsión T que debe aplicarse al eje para que la deformación cortante máxima sea de 0.01 rad Ans 47

Desde el diagrama esfuerzo cortante Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.136 El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que tiene diagrama τ-γ como el mostrado en la figura. Determine el par de torsión T que debe aplicarse al eje para que la deformación cortante máxima sea de 0.01 rad Desde el diagrama esfuerzo cortante 48

Dr. Hermann Alcazar MAE 243 Mechanics of Materials / Summer2 2010 Problema 5.138 Un tubo esta fabricado de material elástico perfectamente plástico y tiene el diagrama τ-γ como el mostrado en la figura. Si el radio del núcleo elástico es ρy = 2.25 pulg, determine el par de torsión T aplicado. Además, encuentre la distribución del esfuerzo cortante residual en el eje y el ángulo de giro permanente de uno de los extremos en relación con el otro al retirarse el par de torsión. 49