La resolución de las ecuaciones cúbicas 𝒙 𝟑 +𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙=𝒄 y el origen de los números complejos

En el s. XIII (1225), Leonardo Pisano (Fibonacci) ya resolvía ecuaciones cúbicas, por métodos numéricos (dividiendo por la regla de Ruffinni o método de Horner, ¡s. XIX!). Así, en un desafío, encontró para la ecuación x3 + 2x2 + 10x = ((x + 2)x + 10)x = 20 la solución aproximada: x = 10 22I 7II 42III 33IV 4V 40VI ≅ 1.36880810785322… coincidente hasta el 10º decimal con el verdadero valor x = 1.36880810782137…

𝑦 3 + py = q (Cúbica reducida) Fórmula de Cardano para las cúbicas (Debida a Scipione del Ferro, Tartaglia, … principios del siglo XVI) x3 + ax2 + bx + c = 0 x ⇾ y – 𝑎 3 𝑦 3 + 3𝑏 − 𝑎 2 3 𝑦 + 2 𝑎 3 − 9𝑎𝑏 + 27𝑐 27 =0 𝑦 3 + py = q (Cúbica reducida) 𝒚 = 𝟑 𝒒 𝟐 + 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕 + 𝟑 𝒒 𝟐 − 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕

¿Cómo dedujeron esta ecuación? Con una idea sorprendente, haciendo y = u + v. Esto da margen para elegir adecuadamente los valores de u y v. y3 + py = q ⇒ (u + v)3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + 3uv(u + v)+ v3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q Escogiendo u y v de forma que 3uv = -p, queda u3 + v3 = q. Podemos resolver este sistema de ecuaciones en u y v despejando v en la primera y sustituyendo en la segunda: ⇒ 𝑢 3 = 𝑞 ± 𝑞 2 +4 𝑝 3 27 2 = 𝑞 2 ± 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 𝑣= −𝑝 3𝑢 ⇒ 𝑢 3 − 𝑝 3 27 𝑢 3 = q ⇒ 𝑢 6 −𝑞 𝑢 3 − 𝑝 3 27 = 0 Dada la simetría del sistema, un signo corresponde a u3 y otro a v3, y por tanto 𝒚= 𝟑 𝒒 𝟐 + 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕 + 𝟑 𝒒 𝟐 − 𝒒 𝟐 𝟒 + 𝒑 𝟑 𝟐𝟕

Si 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 > 0, no hay ningún problema 𝑥 3 +𝑥=10 → 𝑝=1, 𝑞=10 = 3 5+ 676 27 + 3 5− 676 27 x= 3 10 2 + 10 2 2 + 1 3 3 + 3 10 2 − 10 2 2 + 1 3 3 = 3 5+ 26 3 9 + 3 5− 26 3 9 = 3 135+78 3 27 + 3 135−78 3 27 = 3+2 3 3 + 3−2 3 3 = 2 3±2 3 3 = 3 3 ±3· 3 2 ·2 3 + 3·3 2 3 2 ± 2 3 3 = 27 ± 54 3 + 108 ± 24 3 =135±78 3 Factorizando, 𝑥 3 +𝑥−10 = (x - 2)(x2 + 2x + 5) = 0, podemos ver que no hay otras soluciones reales.

¿Y si 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 < 0? x3 - 15x = 4 p = -15, q = 4 (4 es una solución obvia) x= 3 4 2 + 16 4 + −15 3 27 + 3 4 2 − 16 4 + −15 3 27 = 3 2+ 4−125 + 3 2− 4−125 = 3 2+ −121 + 3 2− −121 ¡Raíces cuadradas de números negativos! = 3 2+11 −1 + 3 2−11 −1

Pero si admitimos que −1 2 =−1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 : −1 3 = −1 2 −1 = - −1 2± −1 3 = 2 3 ±3· 2 2 −1 +3·2 −1 2 ± −1 3 =8±12 −1 −6 ± − −1 =2±11 −1 x = 3 2+11 −1 + 3 2−11 −1 = 2+ −1 + 2− −1 =4 sea lo que sea −1 … La ecuación tiene otras dos raíces reales: x = -2 ± 3 . Las podemos encontrar dividiendo por (x – 4) y resolviendo la cuadrática que queda: x3 - 15x – 4 = (x - 4)(x2 + 4x + 1) = 0 O utilizando alguna de las otras dos raíces cúbicas “complejas” de 2±11 −1 : 3 2 −1 ± − 3 − 1 2 −1 − 3 2 −1 ± 3 − 1 2 −1

Números complejos Un número complejo es de la forma: z = a + b· i ; a, b ∊ 𝕽, i = −1 (i2= −1) i es la unidad imaginaria a = Re(z) (parte real de z) b = Im(z) (parte imaginaria de z) Si b = 0, se trata de un número real. Si a = 0, y b ≠ 0, se trata de un número imaginario puro.