TEMA 3: Distribuciones bidimensionales: relación entre dos variables estadísticas. Cristhian Lopez

Índice: 1.- Relación estadística: correlación 2.- Diagramas de dispersión o nube de puntos 3.- Tablas de frecuencia simples o doble entrada 4.- Distribuciones marginales y condicionadas 5.- Parámetros estadísticos bidimensionales 5.1.- Medias y desviaciones típicas marginales 5.2.- Covarianza 5.3.- Coeficiente de correlación líneal 6.- Rectas de regresión Cristhian Lopez

1. Relación Estadística: Correlación La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas. Cristhian Lopez

Tipos de correlación: 1º Correlación directa La correlación directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra aumenta. La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta creciente. 2º Correlación inversa La correlación inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra disminuye. La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta decreciente. 3º Correlación nula La correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables. En este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una forma redondeada. Cristhian Lopez

1º Correlación directa 2º Correlación inversa 3º Correlación nula Cristhian Lopez

Grado de correlación: Correlación fuerte La correlación será fuerte cuanto más cerca estén los puntos de la rec1.ta. Correlación débil La correlación será débil cuanto más separados estén los puntos de la recta. Cristhian Lopez

2. Diagramas de dispersión o nube de puntos En las distribuciones bidimensionales a cada individuo le corresponden los valores de dos variables, las representamos por el par (xi, yi). Si representamos cada par de valores como las coordenadas de un punto, el conjunto de todos ellos se llama nube de puntos o diagrama de dispersión. Sobre la nube de puntos puede tazarse una recta que se ajuste a ellos lo mejor posible, llamada recta de regresión. Ejemplo: Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes: Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10 Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10

3.Tablas de frecuencia simples o doble entrada Tabla bidimensional simple. Está formada por tres filas en las que se representan: en la primera de ellas los valores de la primera variable, en la segunda fila los de la segunda variable y en la tercera las correspondientes frecuencias. Está indicada para casos con pocos datos y pocos valores o ninguno repetidos. xi x1 x2 ... xi ... xm yj y1 y2 ... yj ... yn fij f11 f22 ... fij ... fmn N Cristhian Lopez

x1 x2 ... xi ... xm Frecuencia absoluta de la variable Y Tabla de doble entrada. Está formada por tantas filas como valores tengamos de la variable Y y tantas columnas como valores tengamos de la variable X, y una fila y una columna más para indicar los totales. Está indicada para casos con bastantes datos, en los que para cada valor de una variable, existen varios valores de la otra. x1 x2 ... xi ... xm Frecuencia absoluta de la variable Y y1 f11 f21 ... fi1 ... fm1 Σfi1 y2 f12 f22 ... fi2 ... fm2 Σfi2 ... ... ... ... ... ... ... ... yj f1j f2j ... fij ... fmj Σfij yn f1n f2n ... fin ... fmn Σfin Frecuencia absoluta de la variable X Σf1j Σf2j ... Σfij ... Σf1n N Cristhian Lopez

4 Distribuciones marginales y distribuciones condicionada Las distribuciones marginales son las distribuciones unidimensionales que nos informan del número de observaciones para cada valor de una de las variables,(prescindiendo de la información sobre los valores de las demás variables). En el caso bidimensional hay dos (una para la x y otra para la y), en el caso multidimensional hay tantas como variables. A partir de la tabla de correlación pueden construirse las distribuciones marginales, asignando a cada valor de la variable considerada su frecuencia marginal. Distribuciones condicionadas: Nos especifican las observaciones que hay de cada valor de una de las variables cuando imponemos la condición de que la otra toma un valor determinado. Esto supone considerar únicamente una columna de la tabla de correlación (distribución de x condicionada a un valor de y) o una fila de la tabla (distribución de y condicionada a un valor de x). Cristhian Lopez

5.Parámetros estadísticos bidimensionales Media y desviación marginal: La media y la desviación marginal son respectivamente la media aritmética y la desviación típica calculadas con las distribuciones marginales Covarianza: La covarianza (Sxy), es una manera de generalizar la varianza y se define como: La covarianza busca comparar los resultados obtenidos en diferentes variables, con el objeto de establecer si hay una relación. Cristhian Lopez

Coeficiente de correlación lineal El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables. El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r. Propiedades del coeficiente de correlación: 1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición. 2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza. Si la covarianza es positiva, la correlación es directa. Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa. Si la covarianza es nula, no existe correlación. 3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre −1 y 1. −1 ≤ r ≤ 1 Cristhian Lopez

6. Rectas de regresión La recta de regresión es la que mejor se ajusta a la nube de puntos y pasa por el punto centro de gravedad llamado centro de gravedad. Recta de regresión de Y sobre X La recta de regresión de Y sobre X se utiliza para estimar los valores de la Y a partir de los de la X. La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable X. Recta de regresión de X sobre Y La recta de regresión de X sobre Y se utiliza para estimar los valores de la X a partir de los de la Y. La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable Y. Cristhian Lopez