Continuación DE MCO

Definición Valores ajustados o estimados matrix ygorro= x*b (matrix list ygorro) Residuos (matrix e=y-ygorro) Modelo estimado

En la ecuación que estimamos β1 es igual a 0.23 (PMC). ¿Qué tan confiable es esta estimación? Debido a las fluctuaciones muestrales es probable que una sola estimación difiera del valor verdadero Por lo tanto surge la pregunta de qué tan cerca o lejos estamos del verdadero valor de la población

b1 y b2 son una estimación de β1 y β2 pero también puede interpretársele como un estimador (o regla) que tiene una distribución de probabilidad con media y varianza porque es una variable aleatoria que es el resultado de las estimaciones de muchas muestras. De la distribución de probabilidad la media y la varianza del estimador nos dice que tan cerca o que tan lejano están las estimaciones b1 y b2 de β1 y β2

Sabemos que el método de mínimos cuadrados produce estimaciones de b1 y b2 que en promedio se acercan a los verdaderos parámetros. Sin embargo no sabemos que tan cerca o lejos estamos de los verdaderos parámetros para ello es necesario hacer algunas pruebas de hipótesis. Estas pruebas están basadas en las características de la distribución de los coeficientes estimados suponiendo que éstos son una variable aleatoria. De aquí la importancia de tomar en consideración las características de la distribución de los coeficientes estimados y sus propiedades.

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES Insesgado Eficiente se busca que el estimador tenga la menor varianza comparada con la de cualquier otro estimador insesgado Menor error al cuadrado Muchas veces es deseable un estimador con poca varianza y un poco de sesgo que un insesgado con alta varianza. Por tanto es deseable un estimador que combine los dos criterios anteriores El criterio es el mínimo error al cuadrado:  (Sesgo)2 + Var   Consistencia El estimador se acerca al verdadero valor a medida que el tamaño de la muestra se incrementa.

b es un estimador insesgado de β poblacional Recordemos que Y = Xβ+e y estimamos b= (X’X)-1X’y Por lo tanto sustituyendo el valor de Y b= (X’X)-1X’(Xβ+e) haciendo la multiplicación (X’X)-1X’Xβ + (X’X)-1X’e = Iβ + (X’X)-1X’e = b= β + (X’X)-1X’e E(b) = E(β) + E((X’X)-1X’e) E(b) = β + (X’X)-1X’ E(e) = β + (X’X)-1X’ 0 = β es decir E(b) = β

La propiedad anterior muestra que la media de la distribución muestral de b está cerca del verdadero valor de β poblacional cuando esto no es así se dice que el estimador está sesgado. La insesgadez es una propiedad deseable pero no a todo costa Por ejemplo, podemos tener dos estimadores alternativos uno insesgado y otro sesgado. Si los valores que toma el estimador sesgado oscila menos alrededor de β que el insesgado, el primero tendría menos varianza que el segundo. Es decir a veces un pequeño sesgo se compensa con una menor varianza

VARIANZA DEL ESTIMADOR b La varianza es una medida de la precisión de las estimaciones. Se puede decir que un estimador es más preciso que otro si la varianza de la muestra es menor que la de otro estimador.

Por definición var (b0) = E[((b 0 - E(b 0))2] cov (b0 , b1) = E[{b 0 - E(b0)}{ (b1 - E(b1)}]

Caso de homoscedastidad y f(y|x) . E(y|x) = b0 + b1x . x1 x2

. . . Caso de heteroscedasticidad f(y|x) y x1 x2 x3 x E(y|x) = b0 + b1x . x1 x2 x3 x

Para calcular las varianzas y covarianzas tenemos que b= β + (X’X)-1X’e b - β = (X’X)-1X’e transponiendo de acuerdo con las propiedades de las matrices (b - β)’ = e’X(X’X)-1 var (b) = E{(b - β)(b - β)’} var (b) = E{(X’X)-1X’ee’X(X’X)-1} var (b) = (X’X)-1X’E(ee’) X(X’X)-1 como E(ee’) = σ2I entonces (se demuestra más adelante) var (b) = (X’X)-1X’ σ2I X(X’X)-1 = σ2I(X’X)-1X’ X(X’X)-1 = σ2I(X’X)-1I= σ2 (X’X)-1

σ 2 (X’X) -1 = ú û ù ê ë é var ) , b0 cov( b1 Por tanto b N ( b b1) b1 Recordemos que 1 2 . 210206 2792 40 - ú û ù ê ë é = å s t xi N 0000653 0045 35 En este caso σ2 es constante pero desconocida ¿cómo se calcula?

Distribución de los residuos Esperanza de los residuos es cero Y= Xβ +e Residuos de la estimación de una muestra e= Y-X b e= Y-X(X`X)-1X`Y sacando Y como factor común e = Y(1-X(X`X)-1X`)

(1-X(X`X)-1X`)= M Matriz proyección Simétrica M`=M y M`M = M La traza de M es la suma de los elementos de la diagonal principal La traza cumple con la propiedad de que E(tr(A))= tr(E(A)) Se va a demostrar que La traza de M = n-k

e = Y(1-X(X`X)-1X`)= MY e= M(X β +e) = M X β +Me M X β= (1-X(X`X)-1X`) X β= X β – X β= 0 e= Me Ahora de va a demostrar que un estimador de σ2 es la sumatoria de los errores al cuadrado Como var (e) = E[((e – E(e))2] E(e)= 0

Como e= Me la varianza de los errores sería e`e = e`M`M e Como M es simétrica e idempotente resulta que: = e`M e es un escalar E(e`e) = E(e`M e) Debido a las propiedades de M

E(tr(E(e`M e))= E(tr(Me`e)) como M es fijo Tr(M(Ee`e)) = tr(M σ2 I)= σ2 tr(M) La traza de M es tr(1-X(X`X)-1X`) = tr(1) – tr((X(X`X)-1X`) Tr(In) – tr(Ik) = n –K Por tanto E(e`e) = n-k σ2

Despejando para una muestra s2 = e`e /n-k Es un estimador insesgado de la varianza de los términos de error

En Stata para ver la matriz de varianzas escribir matrix list e(V) Calcular la matriz de varianzas y covarianzas en el modelo del consumo (tarea en la inversión) matrix etrans = e' matrix var = (e'*e)/38 matrix list var matrix varco= xtransxinver*46.852962 matrix list varco En Stata para ver la matriz de varianzas escribir matrix list e(V)

¿QUÉ SIGNIFICADO TIENEN LAS VARIANZAS Y LAS COVARIANZAS? En primer lugar entre mayor el valor de σ 2 mayor será el valor de las varianzas. Por la forma en que se calcula σ2 veremos que un valor grande de σ 2 implica grandes u y por tanto puntos alejados de la línea de regresión que estamos tratando de estimar y por tanto los estimadores son menos precisos. Es decir grandes varianza indican menor precisión en la estimación. Si la covarianza es negativa significa que si b1 esta sobrestimado b2 estará subestimado. Hacer la regresión en STATA