Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

GRÁFICAS DE SISTEMAS DE INECUACIONES U.D. 5.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Repaso muy importante (I) Escribir en los recuadros el signo (<, >, ≤ o ≥) que corresponda: 1 2 3 y – x + 4 x 3 y x + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Repaso muy importante (II) Escribir en los recuadros el signo (<, >, ≤ o ≥) que corresponda: 4 6 5 y x y 3 y + 2·x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Repaso muy importante (y III) Escribir en los recuadros el signo (<, >, ≤ o ≥) que corresponda: 8 9 7 y 0 x – 2.y 2 y – 3·x 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS En un sistema de inecuaciones lineales ( de primer grado) con dos incógnitas (x e y ) la solución de cada inecuación es un semiplano. La solución del sistema será la intersección de los dos semiplanos soluciones de las inecuaciones del sistema. La solución es el conjunto de pares (x,y) que satisface todas las desigualdades. Para hallar la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera de cada semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solución El punto ( 0, 4 ) pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN EJEMPLO 1 Sea el sistema y – 4 ≤ 0 (1) - x + y > 0 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 4 (1) y > x (2) Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 4 0 0 4 4 4 4 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales ZONA SOLUCIÓN C El punto ( 2, 0 ) no pertenece a la solución El punto ( 2, 4 ) pertenece a la solución EJEMPLO 2 Sea el sistema - x + y > 0 (1) x + y – 4 ≥ 0 (2) Despejamos las “y”: y > x (1) y ≥ 4 - x (2) Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 0 0 4 4 4 4 0 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales X Y ZONA SOLUCIÓN El punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solución El punto ( -100, 0 ) pertenece a la solución EJEMPLO 3 Sea el sistema: 5.x + 2.y ≤ 1200 (1) x + 2.y ≤ 400 (2) Despejamos las “y”: y ≤ 600 – 2,5.x y ≤ 200 – 0,5.x Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y x y 0 600 0 200 200 100 400 0 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLO 4 Sea el sistema: y – 4 ≤ 0 (1) - x + y > 0 (2) x + y – 4 ≥ 0 (3) Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución. Para ello despejamos la y en cada una de las inecuaciones dadas: y ≤ 4 (1) y > x (2) y ≥ 4 – x (3) Y hacemos una tabla de valores: x y1 y2 y3 0 4 0 4 4 4 4 0 y A B 1 2 3 4 C x 0 1 2 3 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … EJEMPLO 4 Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. y ≤ 4 (1)  Para abajo. y > x (2)  Para arriba. y ≥ 4 – x (3)  Para arriba. La solución es la zona común a los tres semiplanos, el triángulo ABC, excepto el lado BC, pues el lado BC se apoya en una recta frontera que no es solución de su inecuación. Vemos que los vértices de la zona solución son los puntos A , B y C: A(0 , 4) B(4 , 4) C(2 , 2) A B C @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … EJEMPLO 4 Las soluciones al sistema de inecuaciones son todos los pares de valores (x,y) que se hallen en la zona solución. Aunque la zona solución tenga, en este caso, un tamaño finito al estar limitada, las soluciones son infinitas. No obstante, en muchos problemas de Programación Lineal sólo nos va a interesar las soluciones enteras, en cuyo caso el número de éstas quedará muy limitado. En nuestro caso, las soluciones enteras serían los puntos: (0 , 4), (1 , 4), (2 , 4), (3 , 4), (1 , 3) y (2 , 3). No lo son (2 , 2), (3 , 3) ni (4 , 4) por pertenecer al lado BC. y A B 1 2 3 4 C x 0 1 2 3 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.