Relación de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas

Ejercicio Sean los puntos E(1;2), F(5;4) y G(4;6) los vértices de un triángulo. Halla la longitud de la mediana relativa al lado EF, su pendiente y el ángulo de inclinación ( ) con respecto al eje x.

y m = = 3 = tan   = 71,20 xE+ xF yE+ yF M ; 2 M(3;3) x  3,16 u 1 5 4 2 6 x y E F G yG – yM xG – xM m = = 3 = tan   = 71,20 3 xE+ xF 2 yE+ yF ; M M 3 M(3;3) d(G;M) =  ( xG – xM)2 + ( yG – yM)2 d(G;M) =  ( 4 – 3)2 + ( 6 – 3)2 d(G;M) =  10  3,16 u

Ejercicio 1 Sean los puntos M(–1;1), N(3;1), P(6;7) y Q(2,8;8,6) los vértices de un trapecio rectángulo en P. a) Calcula las pendientes de las rectas que contienen a las base. b) Calcula las pendientes de las rectas que contienen a los lados que se cortan en P.

M(–1;1), N(3;1), P(6;7), Q(2,8;8,6) y mQM = a) = = = 2 mNP = x = = 2 yQ – yM xQ – xM mQM = Q a) 8,6 P 8,6 – 1 2,8 + 1 = 7,6 3,8 = 7 = 2 yN – yP xN – xP mNP = M N 1 –1 3 6 x 7 – 1 6 – 3 = 2,8 = 2

M(–1;1), N(3;1), P(6;7), Q(2,8;8,6) y mQP = b) = = 1 = – 2 mNP = 2 x yQ – yP xQ – xP mQP = y Q b) 8,6 P 8,6 – 7 2,8 – 6 = 1,6 –3,2 = 7 1 2 = – M 1 N –1 3 6 x mNP = 2 2,8

y a) mQM = mNP = 2 pero QM NP b) 1 mQP = – 2 x pero QP  NP Q 8,6 P 7 pero QM NP b) M N 1 2 mQP = – 1 –1 3 6 x 2,8 pero QP  NP

Sean las rectas r1 y r2 de pendiente m1 y m2 respectivamente, se cumple que: a) r1  r2 si y solo si m1 = m2 1 m1 – b) r1  r2 si y solo si m2 = Teorema

Ejercicio 2 Demuestra que el cuadrilátero de vértices en los puntos A(0;0), B(4;3), C(1;7) y D(–3;4) es un cuadrado. Calcula su área.

luego AB CD por tener sus pendientes iguales y yA – yB xA – xB mAB = 0 – 3 0 – 4 = 3 4 = C 7 yC – yD xC – xD mCD = 7 – 4 1 + 3 = 3 4 = D 4 3 B luego AB CD por tener sus pendientes iguales x –3 A 1 4

A(0;0), B(4;3), C(1;7), D(–3;4) =16+9 = 5 =16+9 = 5 AB =d(A;B) = ( xA–xB)2+( yA–yB)2 = (0 – 4)2 + (0 – 3)2 =16+9 = 5 CD =d(C;D) = ( xC–xD)2+( yC–yD)2 = (1 + 3)2 + (7 – 4)2 =16+9 = 5 entonces ABCD es un paralelogramo por tener un par de lados opuestos paralelos e iguales.

A(0;0), B(4;3), C(1;7), D(–3;4) mAB = mCD = AB CD , AB = CD =9+16  ABCD es un cuadrado por ser un paralelogramo con un par de lados consecutivos iguales y perpendiculares. A(0;0), B(4;3), C(1;7), D(–3;4) 3 4 = mAB = mCD AB CD , AB = CD BC =d(B;C) = ( xB–xC)2+( yB–yC)2 = (4 – 1)2 + (3 – 7)2 =9+16 = 5 yB – yC xB – xC mBC = 3 – 7 4 – 1 = 4 3 = – luego AB  BC por tener sus pendientes opuestas y recíprocas.

Para el estudio individual Demuestra que el cuadrilátero que tiene vértices en los puntos (2;1), (7;3), (3;4) y (8;6) es un paralelogramo.